无穷问题的由来
全体自然数与它们的平方数，哪个多哪个少？这是意大利著名科学家伽利略在1638年提出的一个问题。
就人们的常识来说，自然数的平方仍是自然数，这样自然数平方的集合N₁应该是自然数集的一个真子集，所以自然数集中元素的个数应该多于集合N₁中元素的个数。但是从另一个角度讲，每个自然数都唯一对应了一个平方数，且两集合元素都是无穷的，两者好像很难比较。伽利略本人对这个问题困惑不解，同时代的其他科学家也甚为迷惘，不知道如何作答，因为不管如何回答都会自相矛盾。后来人们把这个问题称为伽利略悖论。所谓“悖论”就是自相矛盾的命题，谁能料想，正是从解决类似“悖论”出发，200多年后诞生了一门成为整个数学基础的学科——集合论。
历史上人们对“无穷”的理解经历了潜无穷与实无穷的多次争辩。
数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。康托尔的朴素集合论就是建立在实无穷的基础之上。举个形象点的例子就是，一条线段上的点有无数个，但是这条线段本身又是有限的。
数学上的潜无穷思想是指：把无限看作是永远在延伸着的，一种变化着、成长着的东西来解释。它永远处在构造中，永远无法完结，是潜在的、永远在创造着的过程。按照此观点，自然数不能构成为一个集合，因为这个集合是永远也完成不了的，它不能构成一个实在的整体，而是永远都在构造之中。举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无数个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的时候。
其实，早在古希腊时代，无穷集合就已经引起数学家和哲学家的注意了。其中，芝诺(约公元前490前430)提出的悖论可能是与无穷有关的最早记录。其中一个是说物体的运动是无法完成的，因为若物体要运动一段距离，则它需要先运动到这段距离的一半处，则它又需要先运动到一半的一半处，这个过程会一直持续无法终结，所以物体无法运动。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。其实，尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒……，好像永远无穷无尽，但时间是正常流动的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，然而加起来只是个常数而已，也就是1秒。不过芝诺将无穷以悖论的形式掲露出来，迫使人们去思考，对数学的发展无疑起到了积极的影响。
古希腊的亚里士多德也考虑过无穷集合。但他不承认一个无穷集合可以作为固定的整体而存在。对他来说，集合只能是潜无穷而不可能是实无穷。
中国古代也很早就注意到了“无穷”，《庄子・天下篇》中的“一尺之種，日取其半，万世不竭”，就蕴涵着无穷的观念。
伽利略在他的《两门新科学》中提出：两个不等长的线段AB与CD上的点可以构成一一对应(见下图),从而可以想象它们含有同样多的点。加之他注意到前面的正整数可以和它的平方数构成一一对应，这就会导致无穷大的不同的“数量级”。伽利略说这是不可能的：所有的无穷大数量都一样，不能比较大小。他确实与无穷集合作过斗争，但却因为它们不可理喻而放弃了。
直到中世纪，关于是否有实实在在无穷多个元素的集合这个问题，哲学家们仍然是各执一词，众说纷纭。当时人们已经注意到这样的事实：把两个同心圆上的点用公共半径连起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系，但大圆的周长却比小圆的长，人们对这样的问题无法解释。
但是，微积分的创立却成为解决无穷问题的催化剂，因为微积分最初是不严密的。微积分在创立之初采用的是实无穷的思路，将微积分中的dx, dy等符号视为实际存在的无穷小量，而dy/dx则是它们之间的比值，也就是无限小尺度下的斜率。在牛顿、莱布尼兹的时代，实无穷的概念虽然符合直觉，但是却被批评为不够严谨。后来，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（1815-1897）创建极限的潜无穷描述，提出极限的ε-δ语言，替代实无穷作为微积分的基础，被学界认为是微积分的一大胜利，它能够严谨地表示与证明，其定义和证明的过程都不涉及实际的无限小"量"，而以可无限趋近的"程序"代替。再后来，1960年代初，德国数学家亚伯拉罕·鲁滨逊提出非标准分析，构建了超实数系，使数学分析回到实无穷的思路上(不过这不是学界的主流，数学界还是以ε-δ语言为主)。
在微积分的背景下，关于无穷集合的许多问题就再也无法回避了。19世纪末，一位年轻的德国数学家用无与伦比的超人智慧拨去笼罩在无穷集合上的重重迷雾，终于使人们看清了“无穷”的真面目，他就是建立“无穷集合论”的德国数学家康托尔(1845-1918)。
康托尔与集合论
康托尔致力于思考如何比较两个无穷集合的规模。由于元素的“多少”已不适用于无穷集合，所以必须重新定义“一样多”。对于两个有限集，我们可以把“一样多”定义为元素个数相同，这与我们的直觉完全一致，几乎没有任何理解障碍。但是对于两个无穷集，就不能如此了，因为我们无法确定无穷集的元素个数。
怎么解决这个问题呢？康托尔提出一种创新思路，就是抛弃直接计算元素个数这种低级方法，采用所谓的对应关系来比较集合的规模：如果两个无穷集之间能够建立一一对应，我们就认为这两个无穷集的元素“一样多”，称两个集合具有相同的“势”( power),或者说有相同的“基数”( cardinal number)。
这个解决方案好不好呢？也许是好的。因为它不仅解决了无穷集比较规模的困难，而且这种比较标准对于有限集也是同样适用的。
按照康托尔的方法可以得到很多结果：自然数与其平方数一样多，偶数与自然数一样多，负整数与整数一样多…，因为它们之间都能构建一一对应关系。
然而，这种反直觉的观点，却让人很难接受(例如自然数中除了偶数还有奇数，让人很难相信它们是一样多的)。也许，真正让我们困惑的并不是集合论的思想，而是我们根深蒂固的整体大于部分的朴素直觉。这个直觉对有限集来说是十分自然的，但是放在无穷集的场合就不成立了，换句话说，如果我们承认集合论，就不得不抛弃整体大于部分这个传统观点，这或许正是我们接纳集合论所必须付出的代价。
这个代价值得吗？在很多人看来，并不值得。在康托尔创立集合论的初期，主流数学界就把他天才而大胆的想法视为异端邪说，甚至把他逼成了疯子。但是现在，集合论的思想已经被普遍接受了。何以如此？也许是因为集合论能够解决的问题比它制造的麻烦远远多得多。
自然数集是数学家最钟爱的集合，所以康托尔用数集来阐明他关于“势”的概念，他引进了“可数”(enumerable)这个词，对于凡是能和自然数集构成一一对应的任何一个集合都称为可数集合，并且是最小的无穷集合。
首先，康托尔证明了全体有理数集合是可数的。这与直觉有很大出入，因为有理数是“稠密的”，即在任何两个不同的有理数之间都存在无数个有理数，而自然数却不是。对于这个结论，康托尔给出了著名的“对角线证明”：
把正有理数排列成如上图形式的阵列。其中，第一行依大小次序包括所有以1为分母的正分数，即全体正整数；第二行依大小次序包括所有以2为分母的正分数；第三行依大小次序包括所有以3为分母的正分数……显然，每个正有理数都出现在这个阵列中(因为有理数就是分数)。必须注意的是，其中有些有理数是重复出现的。现在我们从 开始，按照箭头所示的方向依次指定1对应 ,2对应 ,3对应 ,4对应 ……每一个有理数必将在某一步对应于一个被指定的自然数。于是，上面列出的有理数集合与自然数集合构成一一对应。把重复的去掉后，这个有理数集合仍然是一个无穷集合。从而必然是可数的，因为可数集合是最小的无穷集合。
康托尔同样以另一个“对角线方法”证明了实数集是不可数的：
假设所有实数都和自然数构成一一对应，把所有实数都写成无限小数（如果是有限小数，就在其后面加 0 ，把它变成无限小数），按照一个列表一一列出，比如：
a1 = 0.0147574628…a2 = 0.3721111111…a3 = 0.2323232323…a4 = 0.0004838211…a5 = 0.0516000000…………
康托尔发现总能找到至少一个列表之外的数，来说明这个列表不全。他构造了这么一个小数，小数点后第一位不等于 a1 的第一位，小数点后第二位不等于 a2 的第二位，总之小数点后第 i 位不等于 ai 的第 i 位。这个数显然不在列表里，因为它和列表里的每一个数都有至少一位是不同的。这样就证明了实数是不可数的。
按照康托尔的这个观点，可以推得许多看似“荒谬绝伦”的结论：有限线段上的点与无限直线上的点一样多；一米长的线段上的点与地球表面上的点一样多;地球表面上的点与地球内部的点“一样多”；两个球内的点与其中一个球内的点也“一样多”等等。他明确指出：实数比有理数多，无理数比有理数多，在数轴上，有理数点与无理数点相比少得几乎可以忽略不计，等等。
举例来说,当x∈(-π/2,π/2)时,有tanx∈(-∞,+∞),数集(-π/2,π/2)与(-∞,+∞)构成了一一对应，从而这两个集合中的数“一样多”：
这里稍微提一下，无理数的数目为什么比有理数多得多。我们知道，有理数是无限循环小数，无理数是无限不循环小数。我们直观的想象一下，我们面前有10个球，上面标着0到9的数字，我们闭着眼睛随机抓取一个球，球上标注的数字就作为小数点后面的第一个数字，把球放回去再抓，就作为第二个数字，持续进行，无限的抓下去，生成有理数的概率简直可以忽略。就像将一副牌洗匀了再随机发出去，发出一顺子的概率是远远低于发出一乱序的概率的。同理实数中“有规律”的循环出现的概率是远远低于“无规律”的乱序出现的概率的，其实无理数才是常态，有理数才是没有道理的数。
康托尔从数学上严格证明了“无穷”也是有差别的，并非所有的无穷集合都有相同的大小，而且无穷的大小也是可以比较的。最令人不可思议的结果是，无穷集合的整体可以与自身的部分一一对应，这就打破了统治数学界两千多年的《几何原本》中的公理“整体大于部分”。在无穷的世界里，康托尔推翻了欧几里得在有限范围内这条天经地义，颠扑不破的真理。
「《几何原本》公理 ：
公理1:等于同量的量彼此相等。
公理2:等量加等量，其和仍相等
公理3:等量减等量，其差仍相等。
公理4:彼此能够重合的物体是全等的。
公理5:整体大于部分。」
康托尔的无穷集合理论给数学的发展带来了一场革命。然而由于康托尔的理论超越直观(反直觉)，虽然解决了许多长期悬而未决的问题，但也颠覆了许多人根深蒂固的想法，因此很难被人立即接受。他的许多结论，如有理数与实数相比是微不足道的，部分可以等于整体，无穷本身也是有大小的，等等，都令当时许多数学家甚至是最具权威性的大数学家们无法接受。
康托尔的集合理论一问世，各种诽谤嘲讽和责难便纷至沓来。几何学家克菜因(1849-1925)对康托尔的思想大加鞭笞毫不留情，数学家外尔(1885-1955)称康托尔的集合论是“雾中之雾”，法国数学家庞加莱(1854-1912)称集合论是“病态数学”。要知道，这些都是当时世界数学界叱咤风云的人物。在康托尔的众多反对者中，还包括他的老师克罗内克。
后来，康托尔由于用脑过度和不被理解，再加上家庭生活的经济压力，于1884年患上抑郁症，最终导致精神失常并被送进医院。但病情一好转，他便立即投入到集合论的研究中，并充满信心地说：“我的理论坚如磐石，任何想要动摇它的人都将搬起石头砸自己的脚。”1918年，康托尔带着诸多遗憾和无限的苦闷离开了人世。
虽然康托尔的集合理论在当时没能获得世人的理解与支持，而且遭受了一批人的责难与攻击，但也有一些有远见的数学家，如戴德金和魏尔斯特拉斯、希尔伯特等，看到了康托尔集合论中蕴涵的智慧之光。魏尔斯特拉斯虽然以潜无穷的方式提出了极限的ε-δ语言，但他本人也赞赏康托尔的实无穷观点，是当时康托尔为数不多的支持者之一(康托尔曾做过他的学生)。
康托尔的集合论揭开了笼罩在无穷上的神秘面纱，终于使隐藏在无穷后面的千古之谜水落石出。康托尔认为，数学理论必须肯定无穷是确实存在的，但是不能把有限所具有的性质强加于无穷，同时康托尔还认为，尽管人类的认识能力有限，但是有限的认识能力却可以认识无穷。
真理的光辉终究会大放异彩。在许多数学家的努力下，康托尔的集合论思想逐渐被越来越多的人所接受，并终于成为数学发展道路上的一座里程碑，甚至可以说引起了人类思维的一次革命。现在，集合论已经成为一门独立的数学分支，并且成为整个数学的理论基石。
事实上，不止数学，现代科学上很多的观念都是反直觉的。按照我们的直觉，太阳是围绕地球转的，因此日心说是反直觉的；按照我们的直觉，要让一个物体运动需要施加外力，因此牛顿的惯性定律是反直觉的。但是经过科学的革命，我们已经把这些反直觉的观点接纳为科学常识了，并且也已经在实际运用上取得了足够成功。更何况，数学是“形式世界”中的学问，在这种立场上，出现个别反直觉的东西，其实是不值得奇怪的。
惊世的创举往往是反直觉且不拘泥于权威约束的，它敢于否定经典，打破金科玉律。如非欧几何的诞生就是建立在对《几何原本》中第五公设的修改上。
「 《几何原本》公设 ：
公设1:过任意两点可以作一条直线
公设2:一条有限直线可以继续延长。
公设3:以任意点为圆心，任意长为半径，可以画圆
公设4:所有的直角都彼此相等。
公设5:同平面内一条直线和另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于两直角和，则这两条直线经无限延长后，在这一侧相交。」
《几何原本》诞生后，第五公设引起了数学家的极大关注，这是因为，公设应尽可能地简单明了，而第五公设却并非如此。多年以来，许多数学家前赴后继试图从其他公理、公设中把它推导出来，结果都以失败而告终。在努力的过程中唯一取得的一点进展就是找到了与第五公设等价却更加简单的陈述形式：通过直线外一点能且只能作一条平行线。当时代进入19世纪，一种革命性的几何观念正在酝酿：欧几里得几何不是唯一描述物质空间的几何学，在不同的公理基础上可以建立不同的几何学体系。在这个背景下高斯、罗巴切夫斯基、波尔约等创立了罗氏几何。罗氏几何用“在一平面上，过已知直线外一点至少有两条直线与该直线共面而不相交”代替欧氏几何中的第五公设。再后来黎曼又创立了黎曼几何，这种几何采用“同一平面上任何两条直线一定相交”代替欧氏几何中的第五公设。罗氏几何与黎曼几何统称为非欧几何。
罗素悖论
在康托尔后，集合论得到了继续发展，然而罗素悖论的出现却使集合论陷入危机。
罗素悖论与一个古老的逻辑悖论——说谎者悖论，有同样的构成。这个悖论可以说是所有逻辑悖论的始祖，但却有着最简单的形式：
我说的这句话是谎话
这句话是真话还是假话？说它是真话，则它是假话：说它是假话，则它是真话。逻辑学中的二值原理表明：一个命题非真即假，或两个互相矛盾的命题不可能同时为真，也不可能同时为假。但是按照二值原理却无法判断说谎者悖论的真假。
罗素悖论使当时的数学界和逻辑学界同时感到问题的严重性，这就是数学史上的第三次危机。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎德国数学家弗雷格（1848-1925)在收到罗素的信之后，在他即将出版的《算术基本规律》第2卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础却垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种尴尬的境地。”
集合论的主要思想之一就是概括原则，正是由于这个原则，才在数学中引入了无穷。但是，人们很快发现，集合论中的这个概括原则却是悖论产生的主要症结。因为在数学定义中就应用了概括原则的思想，即所规定的具有相应条件的集合是允许的。这样就不可避免地要出现矛盾：一方面，使集合论中包含了“可以戳穿一切盾的矛”，即由任一个集合S,都可以得到更大的集合，比如它的幂集(由它的所有子集构成的集合)，这种集合的扩展是没有限制的、无条件的；另一方面，又使集合论中包含了一个“可以抵挡一切矛的盾”，即在集合论中可以有一个包含一切集合的集合，即最大的集合。这种矛盾必然会出现在康托尔的集合论中。比如，那个最大的集合的幂集是否比那个最大的集合还要大？
1908年，德国数学家策梅洛(1871-1953)首先提出了公理集合论的思想，方法是：对“集合”作一些必要的限制，排除诸如“所有集合的集合”那种过大的集合，从而排除矛盾。他提出了7条公理，构成一个集合必须满足这几个公理。后来经过许多人，特别是德国数学家弗兰克尔(1891-1965)的修改和完善，成为比较严格的形式化公理体系。所以，改造后的公理集合论通常称为ZF系统。ZF系统的公理集合论可以为数学建立严格的基础，即ZF系统的无矛盾性保证了数学的无矛盾性。但是，ZF系统自身的无矛盾性并没有得到证明，所以还不能保证它永远不会出现悖论。因此庞加莱形象地评论到：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来，但却不知道圈内有没有狼。”
1931年，年仅25岁的奥地利数学家哥德尔(1906-1978)证明了著名的“哥德尔不完全性定理”。该定理表明：任何形式系统都不能完全刻画数学理论，总有某些问题从形式系统的公理出发不能解答。
哥德尔不完全性定理破天荒地第一次分清了数学中“真”与“可证”是两个不同的概念。可证明的命题固然是真的，但真的命题却未必一定可证。这一切突破了人们对数学真理的传统理解，永远地改变了数学家们的真理观，使数学真理的认识走向了新高度。
对无穷的总结
现代数学的主流是以经典数学为基础的，经典数学以ZF公理集合论系统为基础，承认无穷集合的存在，故经典数学接受实无穷观，同时也不排斥无穷作为一个潜在过程存在，可以认为经典数学中的无穷观是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。
从哲学上讲，从公元前400多年开始就对无穷的观念产生了分歧，对于潜无穷与实无穷的无穷观之争一直延续至今。如果坚持潜无穷论，将导致一些与实际相矛盾的现象(如芝诺关于时间、空间无穷可分的悖论的一个症结就在于认为相应无穷划分是一个“潜无穷”过程，永远不能完成；如果使用实无穷论，认为相应无穷划分虽然是一个无穷过程，但这是一个已经完成的过程，就不会出现悖论了)，并且数学上将导致现代数学失去大部分内容。当然坚持实无穷论，也会出现一些与日常知识不一致的方面(如整体大于部分将不再绝对成立)。基于哲学上对无穷不同认识的影响，数学中也始终存在着潜无穷与实无穷的争论。
两种无穷思想在数学上经历了“江山代有才人出，各领风骚数百年”的此消彼长与往复更迭后，已在现代数学中日趋合流，实际上现在数学中早已是既离不开实无穷思想也离不开潜无穷思想了。标准分析与非标准分析的使用表明：用两种不同的无穷思想为据，采取不同的方式是可以各自自洽的，意味着两种无穷思想可以避开“两虎相争，必有一伤”而走向“平分秋色，辉映成趣”了。
当我们采用辩证法的观点时，可能会获得对两者关系的更清楚认识。
辩证法告诉我们，要从整体，从两方面看问题。如同我们所熟悉的“金银盾”的故事那样，看到金一面的说是金盾，见到银一面的说是银盾，而实际上对盾的认识应是“一面是金，一面是银”，数学家们对无穷的认识也如此。看到无穷实在性一方面的说无穷是实无穷，见到无穷潜在性一面说无穷是潜无穷，但对无穷的认识或许应该是“无穷既是实无穷，又是潜无穷”，就像光的“波粒二象性”一样。无穷本身就是一个矛盾体，它既是一个需无限趋近的过程，又是一个实体，一个可研究的对象。而无穷正是这矛盾双方的对立统一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。实无穷、潜无穷只是一枚硬币的两面罢了，这并非是哲学的玄奥思辩，而是辩证法为我们上的生动一课！
