《数学广角 —数与形》教学设计
【教学内容】
人教版六年级数学上册第107页例1、例2。
【教材分析】
《数学广角一数与形》是本册教材第八单元《数学广角》的内容。教材作为例题编写， 其意图是让学生通过数与形的对照，探究发现图形中隐藏的数的规律，进一步体会数与形之 间的内在联系，感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。并能把数形结合的思想迁 移到解决其他一些实际问题。
教材突出探索规律、应用规律，不管是数还是形，都突出对其 规律的探索，例1通过观察和计算1、1+3、1+3+5、1+3+5+7+ … 既能发现加数的规律(从1 开始的连续奇数相加),又能发现和的规律(都是连续的正方形数),例2通过观察和计算 前两个分数的和、前三个分数和、前四个分数的和…既能发现加数的规律，又能发现和的规 律，在发现规律的基础上，通过推理，再引导学生把规律应用于一般的情形，逐步解决问题。 这节课的意图是：让学生在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的活动经验，培养数形 结合的思想，在例2中，让学生通过计算发现和越来越趋向1,感受什么是“无限接近”, 虽然无法一一穷举所得的结果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽”的类推，让学生
在这一过程中体会推理和极限的思想。
【教学目标】
知识与技能：
1. 体验数与形之间的联系，进一步积累数形结合的经验，认识极限问题，找到解决问
题的办法。
2.引导学生探究加法算式中的加数与小正方形个数之间的联系，使学生认识到数形结合 的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、简单化，从而找到解决问题的办法，培养学生积
极探究，大胆猜想、验证，灵活运用知识的能力。
过程与方法：
1. 运用数形结合的数学思想方法，让学生经历猜想与验证的过程。
2.使学生在运用“数形结合”思想方法的同时，体验数形结合带来的便捷。
情感态度价值观：
1.通过以形解数、以数解形的直观性、生动性，体会数形结合的思想，感受数学的趣味
性，体会数学的逻辑美，培养学生热爱科学、勇于探索的精神。
2.通过运用数学家华罗庚的语言、极限问题中运用史料，激发学生的爱国主义情感。
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【教学重、难点】
教学重点： 感受数与形可以相互转化，借助“数”“形”之间的联系，解决相关问题。
教学难点：寻找和发现数与形相互转化的途径和方法。
【教学准备】研究报告、方格纸、彩笔。
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
这是我国伟大的数学家华罗庚(1910.11— 1985.6.),他把优秀的数学文化永远地留给 了我们，今天老师就把他的思想传给你们，好吗?大声地读出来：“数无形时少直觉，形无 数时难入微”。今天就让我们一起走进数与形的世界，去探究数与形之间的秘密。板书：数
与形。
(设计意图：新课的导入，运用数学家华罗庚的语言，拉近学生距离，唤起学生对数与形的 感知，初步建立数与形的思想。)
二、 互动解疑，由形到数。
首先，我们一起做一个小游戏：
1.屏幕上有几个正方形?一个。现在多了几个?3个。 一共有几个小正方形?怎样用算 式表示?1+3=4.同学们注意观察，小正方形发生了什么变化?变成了一个大正方形。小正方
形的数量变化了吗?没有。那这个4还可以用什么算式表示呢?2×2为什么?两行两列，
边长是2的正方形。2×2还可以写成?对2的平方。
2.现在又多了几个小正方形?5个， 一共有几个?9个。如何用算式表示?1+3+5=9。现 在图形发生了什么变化?又变成了一个大正方形。那这个9还可以写成?3的平方，为什么?
三行三列，边长是3的正方形。
3.同学们注意观察，如果在正方形的外围再添上几个小正方形，你猜加几个?7个。为 什么?1、3、5、7……通过刚才的猜，我们发现这串数有规律了。它们有着什么样的规律呢? 对，是奇数，什么样的奇数?从哪个数开始的，连续吗?从1开始的，连续的奇数。现在一
共有几个小正方形?怎样用算式表示?板书：1+3+5+7=4²。
1还可以写成1的平方。板书： “1=12”,在算式的下面板书： “…… ”。
【设计意图】 让学生通过小游戏、猜一猜、算一算、议一议，亲身经历从“形”到“数”的 过程，能直观的发现“形”与“数”的联系。结合图形与算式发现计算规律，并且能应用规 律来解决一些计算问题。让学生初次体验“形”能直观解决“数”的计算，从而体验成功的 乐趣。
三、 启思导疑，由数到形。
1.刚才我们是从形到数，其实也可以从数到形， 一样能很好地帮助我们解决问题。
(1)这是我们刚才得到的四个算式，
1212
1+3=4=22
1+3+5=9=3²
7
5
3
1
1+3+5+7=16=42
l=1²,1+3=2²,1+3+5=3²,1+3+5+7=42,你能根据刚才的发现写出下一个算式吗?
1+3+5+7+9,快告诉我，它们的和是多少?学生迟疑、计算。老师这儿有一个很好的方法， 赶紧把它想成什么形? (教师手势：画一个正方形),对，正方形。边长是几?边长是5。 快告诉我和是多少?25。课件出示：1+3+5+7+9=5²。你为什么这么快呢?当一串数变成形后，
解决问题就方便多了，而且便捷了，对吗?
(2)你能再写出第六个图形的对应的算式吗?1+3+5+7+9+11=6²,为什么这次快了?
(3)哇，好简单啊，第七个算式呢，谁能告诉我?1+3+5+7+9+11+13=7², 【反问】为什么 是7的平方?这个问题好难啊!学生回答预设：7行7列，7是中间的那个数，大正方形的
边长是7 ……你能通过一串数，说明它为什么是7吗?“因为有7个数相加”。
(4)(轻轻地)下面我们对照大屏幕事发刚才的探究过程，整理总结一下，这里隐藏着
什么规律?先独立思考，然后组内交流、小组代表汇报。
通过刚才的探究，我们发现了这样的规律：从1开始的连续奇数的和正好等于这串数个
数的平方。大声地读出来!
对于这个规律，你觉得应该注意些什么?从1开始、连续奇数、个数的平方。
(5)小结：图形能够使复杂的计算变得简单、方便、快捷，形可以转化成数，数可以
转化成形，这种数学思考方式体现了数形结合的思想。板书： “互转化”、 “结合”。
【设计意图】 引导学生由数到形，小组合作、探索规律并归纳总结，进一步体会和掌握数形 结合、归纳推理等数学思想，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
四、巩固练习，应用拓展
1.同学们，你学会了吗，赶紧练一练吧。
(1)1+3+5+7+9+11+13+15+17=( ),等于多少?为什么?有几个这样的数相加就是几的
平方。
(2) =112,咦!这道题该怎么做?该加到多少?有没有更快的方法?
你能借助上一道的经验吗?
(3)1+3+5+7+9+7+5+3+1=( ),教师数，共11个数，是11的平方?不对?
为什么?该怎么做呢?还有其它的方法吗?
④下面让我们进入抢答环节。
1+3+( )=32
1+3+5+( )=42
l+3+5+7+( )=52
l+3+5+7+9+ …+( )=82
【设计意图】引导学生应用规律解决 一些有关数的问题，进一步体会和掌握数形结合的 思想，培养学生分析问题、解决问题的能力。并通过抢答环节，引出新知，激发学生的探究
兴趣。
五、 合作探究，以形解数
1+3+5+7+9+11+13+15+17
1.再 认 识 1 + 3 + 5 = 3 2 中 ，
……+( )=502
“3”和“5”在算式、图形中的含义。
位置
5的含义
3的含义
算式
最后一个加数
这串数的个数
图形
最外层小正方形的个数
每行小正方形的个数
2.先自己探究，然后小组交流讨论，最后小组代表上台展示。
研究报告(1)
【 研 究 内 容 】 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 1 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 … … + ( )=502
【研究过程】为了解决这个问题，我们借助图形，先从比较简单的问题开始研究 .
问题1:结合下面的图形仔细观察，
5
3
1
1+3+5 =32
最后一个加数“5”与奇数的个数“3”的联系：
问题2:结合下面的图形仔细观察，
7
5
3
1 l+3+5+7=42
最后一个加数“7”与奇数的个数“4”联系 …
问题3:结合下面的图形仔细观察，
3
1
1+3 = 22
后一个加数“3”与奇数的个数“2”联系：
你的发现：
解 决 问 题 ： l + 3 + 5 + 7 + 9 + 1 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 … … + ( )=502
3.归纳总结
1+3+5+7+9+11+13+15+17 ……+( )=n2
通过刚才的探究，我们发现：图形能够使复杂的计算变得简单、方便、快捷，形可以转 化成数，数可以转化成形，这种数学思考方式体现了数形结合的思想。板书：数形结合。对 于这种复杂的问题，我们通常先从比较简单的问题开始研究，逐步发现问题的实质，这体现
了由简到繁，由易到难，由特殊到一般的数学思想。板书：特殊到一般。
【设计意图】引导学生探索规律，以形解数。先独立探索，再合作交流，然后上台展示，并 应用规律解决有关数的问题，进一步体会和掌握数形结合、归纳推理等数学思想，培养学生 分析问题、解决问题的意识和能力。
例 2 :
数与形结合的例子还有很多，同学们观察这道题，你怎么解决呢?为了解决这个问题，
我们先从最简单的两个数相加开始研究。
1.我们先用图形计算前两个数的和
首先，我们把一个正方形平均分成两份，其中一份是多少?二分之一 。再把剩下的二分 之一平均分成两份，每一份是多少?对，四分之一 ，阴影部分的面积就是?换个思维角度，
还可以怎样求阴影部分的面积?提示：你能用减法表示阴影部分的面积吗?板书：
2.用图形完成前三个数的和，前四个数的和，完成研究报告(2)
研究报告(2)
【研究内容】
计算：
【研究过程】
问题1:先画图，再计算：把这个正方形的大小看做单位1,先平均分成两份，每 一份
是它的12,再把剩余的
平均分成两份，每份是这个正方形的,再把剩余的平均分成两份，
每份是这个正方形
问题2:你的发现：
问题3:研究结果：
3.结论推广
如果不停地加下去，会怎么样?它们的和越来越接近?下面请同学们他细观察动画。
当这个过程无止境地持续下去时，相加之和越来越接近1,这个时候我们认为它们的和
等于1,这种数学思考方式体现了极限思想。板书：极限思想。
4.古代极限思想
这是庄子《天下篇》中很有名的一段话， “ 一尺之棰，日取其半，万世不竭” , 这 是
我国古代极限思想的萌芽，我们古代的数学家可真了不起。
5.麦田怪圈
数与形有时很神秘，这是20世纪80年代出现在国外的“麦田怪圈”。
6.结合教材，阐释数与形
其实数与形不曾离开过我们，从小学一年级的加减法到五年级的植树问题，再到六年级 分数的乘法、分数的应用，它一直陪伴着我们成长，只是你没有去关注它，数与形创造了我
们神奇的数学世界。
【设计意图】引导学生以形解数，先从最简单的两个分数相加开始研究，再到三个分数 相加，四个分数相加 …探索多个加数相加的计算方法，并运用规律解决有关数的问题，进一 步体会极限的数学思想。引入史料培养学生的爱国主义情感，激发学生对数形结合的研究兴
趣。联系教材中数形结合的例子，培养学生对数形感知的能力和运用数形结合的能力。
六 、总结评价，课外延伸
同学们，通过本节课的学习，你收获了什么?
板书：现象一规律、转化
最后，让我们再一次缅怀我们的华先生。
数与形，
本是相倚依，
2
1
焉能分做两边飞。
数缺形时少直观，形缺数时难入微。
数形结合百般好，居家分家万事休。
切莫忘，
几何代数统一体，永远联系莫分离。
到这儿，我们认为数不仅是数，形不仅是形，数还是形，形还是数，数形是一家。华先
生虽然离去了，好在还有你们，希望你们把华先生的思想传承下去。
板书设计：
数与形 结合
1=12
现象
1+3=4=22
l+3+5=9=32
l+3+5+7=16=42
l+3+5+7=16=42
规 律
有联系
互 转 化
很 紧 密
一 = ·
极限思想
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