2023年湖南湘潭中考数学第26题（最后一题），此题是以黄金分割为背景的综合题。主要考查黄金分割点的几何意义，正多边形内角和，解直角三角形等知识，正确理解并熟练应用黄金分割点的比例联系是解题的关键。此题属于阅读理解题型，难度较大。
26．（10分）国外著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点
C
把线段
AB
分成两部分，如果＝≈0.618，那么称点
C
为线段
AB
的黄金分割点．
（1）特例感知：在图①中，若
AB
＝100，求
AC
的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙
O
的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径
MN
AI
展开全文
②作
ON
的中点
P
，以
P
为圆心，
PA
为半径画弧交
OM
于点
Q
③以点
A
为圆心，
AQ
为半径，在⊙
O
上连续截取等弧，使弦
AB
BC
CD
DE
AQ
，连接
AE
；则五边形
ABCDE
为正五边形．在该正五边形作法中，点
Q
是否为线段
OM
的黄金分割点？请说明理由；
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形
ABCDE
的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点
E
是线段
PD
的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．
思路分析：第（1）问，CB=100-AC，代入＝计算即可。第（2）问，设OP=a，则OM=OA=ON=2a，求出PA=a，所以OQ=（-1）a，MQ=（3-）a，计算即可。第（3）问，作PG⊥AE于点G，因为PA=PE，所以GA=GE，cos∠PEA=cos72°=====.
解题思路：
