大家好！本文和大家分享一下这道2013年福建高考数学压轴题，也就是试卷的第20题，满分14分，但是很多中等生都只得到了4分。这道题考查的是三角函数图像的变换、三角函数的图像与性质、导数的计算、导数与函数单调性、导数与函数的零点等知识。
先看第一小问：求f(x)与g(x)的解析式。
对于正弦型函数y=Asin(ωx+ψ)+B来说，其最小正周期为T=2π/|ω|。由于本题中ω＞0，故有ω=2π/T=2。
由于函数f(x)图像的一个对称中心为(π/4,0)，代入解析式，得到sin(π/2+ψ)=0。根据正弦函数的定义或性质可得，π/2+ψ=kπ，即ψ=kπ-π/2。又0＜ψ＜π，所以ψ=π/2。故f(x)=sin(2x+π/2)=cos2x。
根据题意，函数g(x)的图像可以由函数f(x)的图像变换得到，所以我们只需要从f(x)的解析式进行变换就能得到g(x)的解析式。
在纵坐标不变的情况下，将f(x)图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，即将f(x)解析式中x的系数变为原来的一半，得y=cosx。再将得到的图像向右平移π/2个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到g(x)=cos(x-π/2)=sinx。
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再看第二小问：存在性问题。
对于存在性问题，我们可以先假设其存在，然后再来验证。
f(x0)、g(x0)、f(x0)g(x0)按某种顺序称等差数列，也就意味着可能有几种情况。但是仔细分析可以发现，当π/6＜x＜π/4时，1/2＜sinx＜√2/2，0＜cos2x＜1/2，也就是说此时有sinx＞cos2x＞sinxcos2x，即g(x0)＞f(x0)＞f(x0)g(x0)。所以如果这三个函数值成等差数列，只可能是g(x0)、f(x0)、f(x0)g(x0)这样的顺序。根据等差中项性质，可得2cos2x0=sinx0+sinx0cos2x0。原命题就转化成方程sinx+sinxcos2x-cos2x=0在(π/6,π/4)上有实数解。
接下来，我们构造新的函数，求导勾利用单调性就可以证明结论了。
最后看第三小问：求参数的值。
研究F(x)的零点问题，我们可以先用二倍角公式将cos2x进行变形，最后得到只有sinx的关系式，即F(x)=-2(sinx)^2+asinx+1。变形过后在进行换元，从而变成一个二次函数，我们先研究这个二次函数在[-1,1]上的零点个数，再反推F(x)在(0,2π]这样一个周期上零点的个数。最后找到a的值，并最终求出n的值。
这道题有一定的难度，你学会了吗？
