大家好!本文和大家分享一道2013年天津高考数学真题。这道题满分14分,考查的是等比数列的通项公式及求和、等差数列的基本性质、函数的单调性等知识。这道题的难度并不大,但是拿到班上一做,正确率却不到30%。
不管是在地方卷还是全国卷中,数列都是高考中的一个重要考点,而且分值通常不低。但是,数列所涉及到的知识点并不多,所以数列算是高中数学性价比最高的考点之一。对那些想考上好一点的大学的高中生来说,数列是必须要掌握的,并且争取做到在考试中不丢分。毕竟,近年来数列题目的难度一般都不是很大。
回到题目,先看第一小问:求数列{an}的通项公式。
数列{an}是等比数列,且首项为3/2,所以只需要求出其公比q就可以求出通项公式。
由于S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以根据等差数列性质可得2(S5+a5)=S3+a3+S4+a4。到了这一步,有不少同学直接用等比数列求和公式表示出S3、S4、S5,但是这样计算就太复杂了。对于项数比较少的求和,我们通常不需要代公式,而是直接用各项相加来表示,那么就可以轻松发现S5-S4=a5,S5-S3=a5+a4,这样代入上式后就可以得到4a5=a3,所以q^2=a5/a3=1/4,即q=±1/2。
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另外,数列{an}不是递减数列,看到这儿很多同学就想不是递减数列,那就是递增数列了,所以q>1,但是前面算出来没有q>1的值,这是怎么回事呢?其实,这就是理解出现了偏差。试想一下,如果一个数列是增负项交替的,那么这个数列同样不是递减数列,也不是递增数列,所以当q<0的时候,也是满足条件的,即q=-1/2。
首项和公比都知道了,直接代入等比数列通项公式就可以求出{an}的通项公式了。
再看第二小问:求Tn的最大值与最小值。
Tn=Sn-1/Sn,而Sn是数列{an}的前n项和,所以根据等比数列求和公式可以得到Sn=1-(-1/2)^n,这儿出现了负底数的指数幂的形式,所以我们需要分奇偶来讨论。当n为奇数时,Sn=1+(1/2)^n,且Sn随意n的增大而减小,从而可以得到Sn的取值范围为(0,3/2]。当n为偶数时,Sn=1-(1/2)^n,此时Sn随n的增大而增大,从而得到Sn的取值范围为[3/4,1)。
由于Tn的单调性与Sn一致,所以当n为奇数时,Tn的范围为(0,5/6],当n为偶数时,Tn的范围为[-7/12,0)。从而得到Tn的最大值与最小值。
这道题难度并不算大,但是考查的知识点还是比较综合,从而导致很多同学做错。