大家好！本文和大家分享一下这道2013年全国高考理科数学压轴题。2013年全国卷与现在的全国卷的设置稍微有点不一样，2013年全国卷的选做题是3选2，而现在旧高考省份全国卷的选做题是2选1。213年这道压轴题考查的是导数的计算、导数与函数的极值、导数与函数单调性以及隐零点问题，题目难度不算大，不少学霸直言：就这？
先看第一小问：求m的值及判断f(x)的单调性。
在高中阶段，我们求极值的一般步骤是：先求导，再令导数等于零并解出x的值x0，然后判断x0两侧导数的正负。也就是说，在高中阶段，导数为零的点不一定是函数的极值点，但极值点处的导数值为零(事实上，导数不存在的点也可能是函数的极值点，只是高中不考虑这种情况)。
回到题目，由于x=0是函数f(x)的极值点，所以f'(0)=0。由f(x)=e^x-ln(x+m)可得，f'(x)=e^x-1/(x+m)，所以f'(0)=1-1/m=0，解得m=1。
根据函数的解析式可知，函数f(x)的定义域为(-1,+∞)。而f'(x)=e^x-1/(x+m)在定义域内是增函数，且f'(0)=0，所以当-1＜x＜0时，f'(x)＜0，此时f(x)为减函数；当x＞0时，f'(x)＞0，此时f(x)为增函数。
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再看第二小问：证明命题。
要证明f(x)＞0，只需要证明f(x)的最小值大于零即可。
由函数f(x)的解析式可知，f(x)的定义域为(-m,+∞)。当m≤2时，有e^x-ln(x+m)≥e^x-ln(x+2)①，即f(x)的最小值一定在m=2时取得。也就是说原命题就转化为证明函数y=e^x-ln(x+2)的最小值大于零，所以接下来就需要求出函数y=e^x-ln(x+2)的最小值。
求导，得y'=e^x-1/(x+2)。该导函数在(-2,+∞)上是增函数，且f'(-1)=1/e-1＜0，f'(0)=e-1/2＞0，那么f'(x)在(-2,+∞)上有唯一零点x0，且-1＜x0＜0。所以f'(x0)=0，即e^x0-1/(x0+2)=0，故e^x0=1/(x0+2)，两边同时取自然对数，得到x0=-ln(x0+2)。
当-2＜x＜x0时，f'(x)＜0，此时f(x)为减函数；当x＞0时，f'(x)＞0，此时f(x)为增函数。所以当m=2时，f(x)的最小值为f(x0)=e^x0-ln(x0+2)=1/(x0+2)+x0。通分并配方后可以得到f(x0)＞0，所以f(x)≥f(x0)＞0。
这道题虽然考到了隐零点问题，但是也是比较基础的隐零点问题，对学霸来说确实比较简单。
