例题1 、【归纳】(1 )观察下列各式的大小关系:
|-2|+|3|>|-2+3|
|-6|+|3|>|-6+3|
|-2|+|-3|=|-2-3|
|0|+|-8|=|0-8|
(1)归纳:|a|+|b|_____|a+b|
(用“>”或“<”或“=”或“≥”或“≤”填空)
【应用】(2)根据上题中得出的结论,若|m|+|n|=13,|m+n|=1,求m的值.
【延伸】(3)a、b、c满足什么条件时,|a|+|b|+|c|>|a+b+c|.
参考答案:(1)≥
(2)由上题结论可知,因为|m|+|n|=13,|m+n|=1,|m|+|n|≠|m+n|,所以m、n异号.
当m为正数,n为负数时,m-n=13,则n=m-13,|m+m-13|=1,m=7或6
当m为负数,n为正数时,-m+n=13,则n=m+13,|m+m+13|=1,m=-7或-6
综上所述,m为±6或±7
(3)分析:若按a、b、c中0的个数进行分类,可以分成四类:
第一类:a、b、c三个数都不等于0
①1个正数,2个负数,此时|a|+|b|+|c|>|a+b+c|
②1个负数,2个正数,此时|a|+|b|+|c|>|a+b+c|
③3个正数,此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|,故排除
④3个负数,此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|,故排除
第二类:a、b、c三个数中有1个0 【结论同第(1)问】
①1个0,2个正数,此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|,故排除
②1个0,2个负数,此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|,故排除
③1个0,1个正数,1个负数,此时|a|+|b|+|c|>|a+b+c|
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第三类:a、b、c三个数中有2个0
①2个0,1个正数:此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|,故排除
②2个0,1个负数:此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|,故排除
第四类:a、b、c三个数都为0,此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|,故排除
综上所述:1个负数2个正数、1个正数2个负数、1个0,1个正数和1个负数.
例题2 、已知:b 是最小的正整数, 且a 、b 满足(c-5)^2 +|a+b|=0
(1)请求出a、b、c的值;
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C,线段AB的中点为M,线段BC的中点为N,P为动点,其对应的数为x,点P在线段MN上运动(包括端点).
①求x的取值范围.
②化简式子|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|(写出化简过程).
详细解析
考点:数轴的定义,绝对值的性质
分析:本题考查了数轴与绝对值,需掌握绝对值的性质,正确理解AB,BC的变化情况是关键;
第(1)题根据b是最小的正整数,即可确定b的值,然后根据非负数的性质,几个非负数的和是0,则每个数是0,即可求得a,b,c的值;
第②题以①为分界点,根据x的范围分0≤x≤4/9、4/9<x≤1、1<x≤3确定x+1,x-1,x-4/9的符号,然后根据绝对值的意义即可化简.
参考答案
(1)根据题意得:c-5=0,a+b=0,b=1,∴a=-1,b=1,c=5.
(2)①(-1+1)÷2=0,(1+5)÷2=3,∴x的取值范围为:0≤x≤3.
②当0≤x≤4/9时,x+1>0,x-1<0,x-4/9≤0,
∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1+(x-1)-2(x-4/9)=x+1+x-1-2x+8/9=8/9;
当4/9<x≤1时,x+1>0,x-1≤0,x-4/9>0.
∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1+(x-1)+2(x-4/9)=x+1+x-1+2x-8/9=4x-8/9;
当1<x≤3时,x+1>0,x-1>0,x-4/9>0.
∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1-(x-1)+2(x-4/9)=x+1-x+1+2x-8/9=2x-10/9;
例题3 、数轴上从左到右的三个点 A ,B ,C 所对应数的分别为 a ,b ,c. 其中AB=2017 ,BC=1000 ,如图所示.
(1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算a+b+c 的值.
(2)若原点O在A,B两点之间,求 |a|+|b|+ |b-c| 的值.
(3)若O是原点,且OB=17,求a+b-c的值.
参考答案
(1)以B为原点,点A,C对应的数分别-2017,1000,
a+b+c=-2017+0+1000=-1017.
(2)当原点O在A,B两点之间时,|a|+|b|=2017,|b-c|=1000,
∴ |a|+|b|+|b-c|2017 +1000 = 3017 .
附另解:点 A,B,C 对应的数分别 b-2017,b,b+1000,
∴ |a|+|b|+|b-c|=2017-b+b+1000= 3017.
(3)若原点O在点B的左边,则点A,B,C 所对应数分别是 a=-2000,b=17, c=1017,
则 a+b-c=-2000+17-1017=-3000;
若原点O在点B的右边,则点A,B,C所对应数分别是 a=-2034,b=-17, c=983,
则 a+b-c=-2034+(-17)-983=-3034
绝对值压轴题小结
绝对值作为初一数学的重点和难点,解题时一定要注意分类讨论。具体分类讨论的方法有:①零点分段法;②点的左右两边分类讨论等。绝对值,是初一数学上册有理数章节的一个重难点。因为绝对值的出现,给题目多了一个分类讨论的机会;也给题目增加了难度,使考试的区分度更具有信度。
所以,绝对值的学习,尤其是与绝对值相关的压轴题学习成了很多同学的期盼。这里精选三道不同类型的含绝对值的压轴题,供需要的同学考!
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