第一章 有 理 数
第五节 有理数的乘除
【学习目标】
1.会根据有理数的乘法法则进行乘法运算,并运用相关运算律进行简算;
2. 理解乘法与除法的逆运算关系,会进行有理数除法运算;
3. 巩固倒数的概念,能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算;
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则:(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同0相乘,都得0.
要点诠释: (1) 不为0的两数相乘,先确定符号,再把绝对值相乘.
(2)当因数中有负号时,必须用括号括起来,如-2与-3的乘积,应列为(-2)×(-3),不应该写成-2×-3.
2. 有理数的乘法法则的推广:(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数的个数有偶数个时,积为正;
(2)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.
要点诠释:(1)在有理数的乘法中,每一个乘数都叫做一个因数.
(2)几个不等于0的有理数相乘,先根据负因数的个数确定积的符号,然后把各因数的绝对值相乘.
(3)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之,如果积为0,那么至少有一个因数为0.
3. 有理数的乘法运算律:
(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即:ab=ba.
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.即:abc=(ab)c=a(bc).
(3)乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.即:a(b+c)=ab+ac.
要点诠释:(1)在交换因数的位置时,要连同符号一起交换.
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(2)乘法运算律可推广为:三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中的几个因数相乘.如abcd=d(ac)b.一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.如a(b+c+d)=ab+ac+ad.
(3)运用运算律的目的是“简化运算”,有时,根据需要可以把运算律“顺用”,也可以把运算律“逆用”.
要点二、有理数的除法
1.倒数的意义: 乘积是1的两个数互为倒数.
要点诠释:(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.
(2)0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数;
(3)倒数的结果必须化成最简形式,使分母中不含小数和分数;
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).
2. 有理数除法法则:
法则一:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,
法则二:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.
要点诠释:(1)一般在不能整除的情况下应用法则一,在能整除时应用法则二方便些.
(2)因为0没有倒数,所以0不能当除数.
(3)法则二与有理数乘法法则相似,两数相除时先确定商的符号,再确定商的绝对值.
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算,应按从左往右的顺序计算,一般先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后算出结果.
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算,如无括号,则按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,则先算括号里面的.