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重磁异常的解析延拓
重磁异常是随着场源深度的变化而变化的，当叠加异常的场源来自不同深度时，它们随着观测平面高度的变化而增减的速度也不同。浅部地质因素所引起的异常随观测平面高度的变化具有较高的敏感性；而深部地质因素却显得比较迟钝。因此，在异常的划分中，人们提出用异常的空间换算方法来划分不同深度的叠加异常。具体计算是根据地面实测重磁异常值计算出场源以外其他空间位置的重磁异常值，此过程称为异常的解析延拓。常用的解析延拓方法有向上延拓和向下延拓两种。向上延拓是将地面实测的异常换算为地面以上另一高度观测面上的异常；而向下延拓则是根据地面实测异常求取地下某一深度（场源深度以上）观测面上的异常。
一般来讲，向上延拓总是给出比原来更平滑的异常图。对于划分异常起因于较深场源的异常效果较好。它使叠加异常中的浅部地质因素的影响减弱，而深部地质因素的影响相对增强。而向下延拓可以使浅部地质因素的影响相对增强，深部地质因素的影响相对减弱。但是，当向下延拓的深度接近或大于场源深度时，延拓后的场值会显示出急剧的波动。在某种情况下，波动开始时的水平面可能给出场源异常物体的顶部埋深。
从上面的讨论可知，解析延拓对于划分来自不同深度的场源异常特别有用。向上延拓相当于“低通滤波器”，对异常起圆滑作用。当原始异常的精度较低时，对向上延拓影响不大，仍可得到比较圆滑的异常。而向下延拓要求原始异常精度较高，因为向下延拓相当于“高通滤波器”，由于个别点的误差经过“放大”会使延拓后的异常出现强烈的跳动。因此，对异常向下延拓时，首先要对异常的数据进行圆滑，然后再进行延拓。
1.向上延拓公式的推导（以重力异常为例）
向上延拓是以诺伊曼无限平面外部问题为基础。诺伊曼无限平面外部问题可以作如下通俗解释：如果一个未知地质体在观测平面上引起的重力异常为已知，则可以将这个平面展布成一个无限大的物质面，使这个物质面各点的面密度μ（ξ，η，0)满足下式：
勘探重力学与地磁学
式中的Δg（ξ，η，0)为（ξ，η，0)点上的重力异常值。则这个物质面在其外部空间任意点所引起的重力异常及其各阶导数，与未知地质体在该点引起的重力异常及其各阶导数等效。因此，可以用这个等效物质面来代替未知地质体，来计算它在地面以上各点产生的重力场。向上延拓坐标如图10-6所示。坐标原点选在物质面上（一般指地表面），计算点选在坐标原点垂线上的-z处。新布置的密度不均匀的无限大物质面在其上部空间P（0，0，-z）点产生的引力位为
图10-6 向上延拓坐标示意图
勘探重力学与地磁学
将（10-27）式代入（10-28）式，得
勘探重力学与地磁学
将上式对z求导数，则可以得到P点处的重力异常表达式：
勘探重力学与地磁学
对于二度体来说，y方向无限延长。因此，将（10-30)式对η积分时，Δg在y方向不变，可以把Δg提出积分号之外，然后对η积分，得
勘探重力学与地磁学
2.二度异常的向上延拓
如果某一个二度地质体在地面某一剖面上的重力异常为已知，则根据（10-31)式，上延高度为h时的公式为
勘探重力学与地磁学
式中：Δg（ξ，0)为地质剖面上ξ点的重力异常值。为了计算方便，用有限的分段积分求和来表示，取数的点距以延拓高度h为单位，而
勘探重力学与地磁学
将i＝0，±1，±2，…，±N分别代入（10-33）式，并将结果加以整理即可求出二度体的上延公式：
勘探重力学与地磁学
用上述公式，分别代以z＝-2h，-3h，…，-mh并计算出相应的系数C0，C1，…，Cn，可得出向上延拓z＝-mh的一般公式为
勘探重力学与地磁学
磁异常向上延拓的原理与重力异常是相同的，对于磁异常向上延拓的公式可以写成
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向上延拓高度n＝h，2h，3h，4h时的系数如表10-1所示。
表10-1 二度异常向上延拓系数表
从上式可以看出，重磁异常的向上延拓是比较精确的，但是在实际应用时不可能为了计算上部空间一个点的场值，而进行无限大区间的积分，总是用有限项的和来近似无限积分。因此向上延拓换算的准确度主要决定于参与计算的剖面的长度，剖面越长，点数越多，计算精度越高，但所造成的边缘损失也越大。
向上延拓是一种常用的处理方法。它的主要用途是突出深部地质因素的影响，削弱浅部地质因素的干扰，有利于深浅两种叠加异常的划分。
3.二度异常的向下延拓
重力异常的向下延拓至今还缺乏严格而有效的方法。目前，空间域中常用的一个方案是利用上半空间的异常，并根据拉格朗日插值原理，外推求出下半空间的异常。拉格朗日插值公式见（10-9)式。当在二度异常向下延拓中，一般采用复数形式的拉格朗日插值公式，即将公式中的 x换成复变量z（z＝x＋iy），这时（10-9）式可写成
勘探重力学与地磁学
式中：Πm（z）＝（z-z0）（z-z1）…（z-zm）；
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W（z）为复场强，z＝x＋iy，
令复场强表示重力异常，并将（10-36)式向下半空间外推，就可以导出目前常用的一些近似公式。例如，m＝3，即在复平面上取m＋1＝4个插值点，z＝ih，z0＝0，z1＝h，z2＝-h，z3＝-ih（图10-7）并代入（10-36）式整理，当取h为延拓高度时，可写出
图10-7 向下延拓插值点位置图
Δg（0，h）＝4g（0，0）-Δg（h，0）-Δg（-h，0）-Δg（0，-h)（10-37）
式中：Δg（h，0），和Δg（-h，0）是观测剖面上的已知值；Δg（0，-h）是原点正上方高度为h点上的上延值，Δg（0，h）便是向下延拓的异常值。如果将（10-34）式代入式中的 Δg（0，-h），则得等间距下延的近似公式为
勘探重力学与地磁学
同理向下延拓公式的一般形式为
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对于磁异常向下延拓公式的一般形式为
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二度体向下延拓系数如表10-2所示。
表10-2 二度体异常某些向下延拓公式系数表
4.三度异常的向上延拓
对（10-30）式取柱坐标形式，延拓高度z换作h时，可得
勘探重力学与地磁学
令
勘探重力学与地磁学
三度异常向上延拓一般采用等间距近似计算和积分插值两种算法进行，这里只介绍前者。
所谓等间距近似计算就是取
勘探重力学与地磁学
由于以延拓高度为单位，并令h＝1，则上式变为
勘探重力学与地磁学
以 i＝0，1，2，…，∞依次代入上式，经过整理得
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式中：
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Ki为第 i环的上延系数，Ki的数值如表10-3所示。
表10-3 三度异常向上延拓系数表
从表10-3可以看出，上延系数Ki随R的增大而迅速减小，例如当取半径等于6倍延拓高度时，K0～K6的总和约为总值的85%。因此，可根据对延拓精度的要求取相应的有限个环上的重力平均值参与计算即可。
关于三度异常的向下延拓，由于计算比较复杂，而且应用又较少，这里就不再介绍。
数学上，有哪些著名的解析延拓
黎曼假设中的黎曼函数是个著名的解析延拓，由阶乘函数到gammar函数是个重要的延拓，还有单位圆，或者任何圆内的，schwarz reflection 引导的解析延拓。
解析延拓怎么理解
所谓之延拓，是两个函数在定义域交集内取值相同，那么就可再定义另一个函数使之定义于两者定义域之并集上，且在两者的定义域上分别与两者相等，则称该函数为该两者的解析延拓。
欧拉还关注过另外一种离散函数，即现在称之为tetration的东西。以下链接有助于了解tetration的概况：
Tetration - Wikipediaen.wikipedia.org/wiki/Tetration。
对于tetration，欧拉没找到相应的解析延拓。到目前为止，这个问题仍然是个迷。据说这个迷吸引过很多数学家，包括自称可以比肩牛顿的Stephen Wolfram。
用过Wolfram Mathematica的同学应该能感受到其人之才华。
Stephen Wolfram 在《A NEW KING OF SCIENCE Open Problems and Projiects》中问道：
“What is the continuous analog of the Ackermann function？”所谓Ackermann function, 其中的一个层次就是tetration。
延拓的名词解释
延拓有两个意思：
（1）函数的延拓：设E和F是两个集合，P是E的子集，F是P到F的映射。E到F的任何映射，如果对P的限制是F，则称为F对E的扩张。
（2）解的延拓：不能连续的解称为饱和解，饱和解的存在区间称为解的最大存在区间。
延拓的原则可以定义一个与它定义的任何特定区域无关的解析函数。它包括原函数和原函数的整体延拓，以及这些延拓的整体延拓等。
扩展资料：
延拓的定理：
设p(x)是复线性空间E上的对称非负值次可加泛函，泛函f0是定义在E的线性子空间E0上的线性泛函，满足
那么，必存在一个定义在整个E上的线性泛函f，满足
（1）
（2）
延拓函数是什么
就是把一个区间上的函数拓展到整个区间，方法是利用周期函数的性质，其中原区间的长度为一个周期。
函数的延拓：设E与F为两个集合，P为E的子集，而f为从P到F中的映射. 任一从E到F中的映射，如果它在P上的限制为f，则称该映射为f在E上的延拓。
解的延拓：不能继续延拓的解称为饱和解，饱和解的存在区间称为解的最大存在区间。
假定函数f1(z)与f2(z)分别在区域D1与D2中解析，D1与D2有一公共部分，在其上f1(z)=f2(z)成立。于是将f1(z)与f2(z)在D1及D2内的全体点上的数值集合看成一个解析函数f(z)，则f(z)在D=D1+D2中解析，在D1中f(z)=f1(z)，而在D2中f(z)=f2(z)。
函数f2(z)可以看成由拓展f1(z)的定义区域所得，故称它为f1(z)的解析延拓。当然，根据同样理由，f1(z)是f2(z)的解析延拓，这种拓展原给函数定义的方法称为解析延拓。
重、磁资料解释方法与技术
重磁资料的地质解释就是依据重磁异常的分布特征，勘探地区岩（矿）石的物性参数和地质条件，说明引起异常的地质原因，做出结论。
3.7.1 重、磁资料地质解释的内容、方法、步骤
3.7.1.1 重、磁资料的预分析
为保证资料完整、可靠和便于解释，在解释前应分析以下条件和因素。
1）分析与检查用于解释的基础资料——重磁异常，是否满足在允许的误差范围内按需要的详细程度测得所研究地质因素产生的异常，即分析重磁测量的精度、测网的形状和密度是否合适，异常是否可靠，这是能否取得好的地质效果的前提条件。
2）要研究和分析在一个工区内，不同研究对象引起的重磁异常之间，以及研究对象与非研究对象（或干扰因素）所引起的重磁异常之间，是否具有反映其特征的差异。如果这种差异存在，则应有目的地选用相应的数据处理方法将不同研究对象产生的重磁异常区分开来，同时消除或压制干扰体产生的异常，这样可以获得较为单一的地质因素引起的有效（目标）异常，以利于做出正确的地质判断。
3）对异常的解释一般是从“读图”或异常的识别开始，先把握全局，再深入到局部。即首先对异常进行分区或分类，分析各区（类）异常特征与区域地质环境可能的内在联系，在此基础上，进一步对各区内局部异常形成的地质因素做出合理解释。
4）对异常的解释应遵循从已知到未知的原则。相近的地质条件产生的异常具有相似的特征，尤其是在对局部异常的解释中，利用一口钻井资料或一条地震剖面资料作控制进行解释后，将获得的成功经验推广到周围条件相似地区的异常中去，可获事半功倍的效果。
5）要充分收集、分析、利用工区内地质、钻井、物性及其他物（化）探资料，尽可能增加已知条件或约束条件、限制反问题的多解性。
3.7.1.2 重、磁异常的处理与转换
重、磁异常的处理与转换是重、磁解释理论的一个重要组成部分。
在重、磁异常正反问题的讨论中，为简单起见，对讨论的问题作了假设，如地质体形状规则，密度或磁化均匀，单一形体，观测面水平等等。建立了地质模型与其重磁异常特征之间的关系，从而建立起一套解释的理论。然而实际情况却往往与这些理论假设有很大的差别。如果直接使用上述方法对控制异常进行解释就会有困难，或导致不正确的结论。
我们所获得的重、磁异常，包含了从深部到地表的所有密度不均匀体、磁性不均匀体的影响，是一个叠加异常；不同地质因素引起的异常无论是从幅度、分布范围、变化快慢等特征看均有所不同，因而其包含的信息量是很大的，但不同因素引起的异常的叠加，又给人们在识别、区分和研究上带来了巨大的困难。因此将叠加异常分解为孤立异常，或者突出某些异常、压制另一些异常，成为重磁异常处理与转换的一个主要的组成部分。
在重、磁勘探中一般只能获得Δg、Za、ΔT等量，有时为了使实际异常满足解释的需要，需要进行分量的转换，如由Za推算出Hax，由Δg推算出Vxz等，从而可以提供多方面的异常信息来满足一些解释方法本身的要求。
实践证明，磁异常的处理与转换对于提高解释推断的效果是很重要的，随着重磁测量精度的不断提高，实测异常中包含的可靠信息量也不断增加，如何有效地提取和利用这些信息，已成为重磁异常解释理论研究的重要课题。
重、磁异常转换和处理的方法很多，各种方法有各自的特点和作用，同时又有各自特定的适用条件，不能盲目使用。应当认真分析重磁异常特征，测区内物性，地质情况及所要解决的地质问题，合理选择处理方法。重磁异常的处理、转换只是一种数学处理加工，它能使资料中某些信息更加突出和明显，但不能获得观测数据中不包含的信息，因此在应用各种方法时必须注意到实际资料的精度和处理方法本身的精度。
重、磁异常数据处理与转换，既可在空间域进行，也可在频率域进行，以下就各种方法的目的、意义作一简单介绍，方法的理论根据、实施步骤，可参阅有关书籍。
（1）数据的网格化
在实践中，由于某些客观原因，在某些测点上不能实现测量，从而造成测点分布的不均匀。因此，必须由不规则网格上的实际数据换算出规则网格节点上的数据，此过程即为数据的网格化。
数据网格化的实质是对不规则数据点进行插值，通常采用二元拉格朗日插值多项式计算。
（2）异常的圆滑
由于测量误差，各项改正的误差以及近地表的随机干扰，常使异常曲线呈现无规律的锯齿状。在解释前，必须进行圆滑处理，常用方法为最小二乘圆滑法。
（3）解析延拓
由水平面（或水平线）上的观测异常计算场源外部的异常，称为异常的解析延拓。其中计算上半空间（或上半平面）异常称为向上延拓，反之称为向下延拓。向上延拓利用位场上半空间第一边值问题的解，即（1.1-58）与（1.1-59）式，加以求解，以二度磁性体ΔT异常为例，其上延公式为：
勘查技术工程学
向下延拓则采用插值多项式推导下延公式。
向上延拓的主要作用是突出深部较大地质体异常，压制浅部、较小地质体异常。向下延拓则可突出浅部地质体异常，也可区分水平叠加异常。
（4）分量转换
在重力勘探中一般只能测量Δg，磁法勘探中一般测量ΔZ、ΔT。在异常解释中有时需要其他量，这时需进行分量的转换，例如由ΔZ推算Hax，由Δg推算出Vxz；有时为了使异常的解释更加简单、容易，也要进行磁化方向的转换，如将ΔZ 转化为，或者将 Z a 转化成顺层磁化 Z″a，H″ax。
（5）异常的导数计算
重磁异常的导数广泛用于解释，同时有时为了突出浅部异常，区分水平叠加异常，经常要进行异常的导数计算，如用Za计算Vxz，Vzz等。
（6）区域场与局部场的划分
区域场与局部场是个相对的概念。通常，区域场为深部地质因素引起，局部场为浅部地质因素引起，为单独研究区域场或局部场，必须将它们从实测的叠加场中划分出来，常用的方法有图解法、平均场法及趋势分析法等。
3.7.1.3 异常的定性解释
定性解释包括两方面的内容：一是初步判断引起异常的地质原因，其次是大致判断地质体的形状、产状及范围。在地球物理勘探中，将直接寻找的对象称为目标物，将最终寻找的对象称为目的物。例如，用重力勘探配合磁法勘探找磁铁矿目标物就是目的物；而在油气田区目标物不是目的物，而是与矿产赋存位置有关的地质因素（包括火成岩、地层和构造等）。因此，异常的定性解释就是确定目标物是否存在、推断其赋存状态，对目的物存在可能性大小作出判断。
由于地下地质情况的复杂性，利用一种地球物理方法所获得的资料判断其产生异常的地质原因往往很困难，有时甚至是不可能的。考虑到研究对象往往具有多种物理性质，对多种地球物理方法所获得的资料进行综合分析有可能较精确地确定引起异常的地质原因。因此，只要方法使用得当，就能取得较好的地质效果。
3.7.1.4 异常的定量解释
定量解释通常在定性解释的基础上进行，其结果又往往可以补充解释的结果。它们之间无严格的界限，二者相辅相成。定量解释就是依据反演所得到的地质体的空间位置，几何参数和物性参数，进一步判断引起异常的地质原因；提供岩石（地层）或基底的构造、倾角和厚度在平面或剖面上的变化，以便推断地下地质构造；提供地质体在平面上的投影位置及地质体的深度、倾向等，以便合理布设钻探工程。
3.7.1.5 地质结论和图示
地质结论是异常解释的成果，也是重磁工作的最终成果。它是重磁资料所反映地质情况的简要概括或归总，也是由定性解释、定量解释与地质规律相结合而作出的地质推论，要注意的是，该地质结论不一定与地质人员的推论相同。
地质图示是重磁工作成果的集中表现和形象描述。重磁工作成果应尽可能以推断成果图的形式表示，如地质剖面图、地质略图、推断构造纲要图和矿产预测图等。
复变函数的解析延拓原理
就是已知小小区域D内的全纯函数f(z),想办法找到一个包含D的区域G中的全纯函数g(z)使得g在D上g=f。
类似于代数中域的扩张的意思。
一般来讲全纯开拓的方法很多，比较常用的就是所谓的Schwarz对称原理。比如模函数的构造过程，当然也有一些其他方法，比如利用递推关系式的开拓，如伽马函数再复平面中的开拓过程以及Riemann zeta函数的开拓，这些算是比较特殊的了
磁异常的解析延拓
通过对异常的解析延拓，有助于突出地表以下某一空间位置磁体所产生的有意义的异常。已有的位场解析延拓方法在下延拓至场源体顶面深度附近区域时，位场将发生强烈的振荡效应，也无法明显的划分出垂向叠加体。利用引入位场频率、埋深为正则化因子等有关的校正函数，通过计算机处理使得向下延拓过场源体时，场值不奇异，可以达到场源体以下的任意需要的深度。
1.磁异常的向上延拓
图4—2 鲁春矿区高精度磁法△T平面等值线图
向上延拓就是根据地面实测异常计算地面以上某一高度的异常值。目的在于压制浅部磁体的干扰，突出深部磁体产生的有意义异常。实际上，向上延拓相当于提高了观测平面，延拓后得到的异常曲线主要反映了深部磁体的异常特征，利用向上延拓可以寻找深部磁体和划分局部异常和区域异常。
对鲁春矿区磁异常进行了多个高度（0m→25m→50m→100m→200m→300m→500m）的向上延拓（图4-2，图4-3，图4-4，图4-5）。其结果可以看出，0m→50m的高度上，P12勘探线以北分别在P7与P5、P1与P0、P4与P6、P6与P8、P8与P12勘探线之间出现了多个磁异常中心，P12勘探线以南仍为低缓异常；向上延拓至100m→300m高度时，P12勘探线以北的磁异常中心只出现在P7与P5、P8与P12勘探线之间，P12勘探线以南仍表现为低缓异常；向上延拓至500m高度时，P12勘探线以北的磁异常中心发生了偏移，P7与P5勘探线之间的磁异常中心向南移至P5与P3勘探线之间，P8与P12勘探线之间的磁异常中心向北移至P8与P10勘探线之间，P12勘探线以南的低缓异常已不明显。
鲁春矿区磁异常的向上延拓结果表明，磁异常及异常体沿倾向和走向两度空间上在一定深度范围内是较稳定和连续的，磁异常体沿倾斜方向的最大延深处分别位于北矿段的P5与P3勘探线之间和南矿段的P8与P10勘探线之间，亦即是磁异常体的中心。等值线西侧密集、东部稀疏的特征显示磁异常体东倾，也与矿床地质剖面的实际观测相一致。
2.磁异常的向下延拓
向下延拓就是根据地面实测异常计算地面以下某一深度的异常值。向下延拓相当于降低了观测平面，目的在于区分叠加异常，突出深部磁体产生的有意义异常，利用向下延拓可以探寻深部磁体向下延伸的空间产状和深度，从而实现异常体的两度空间追索。
对鲁春矿区15条磁侧剖面的磁异常进行了地表以下250m的向下延拓，并对P9、P7、P1、P0、P2、P6、P10七条勘探线的磁异常进行了异常体的形态和空间产状的计算机拟合（图4-6，图4-7，图4-8，图4-9，图4-10，图4-11，图4-12）。由图中可以看出，P12勘探线以北在向下延拓至250m深度的范围内，上含矿层中的磁异常特征明显，有变大的趋势；计算机拟合的异常体均显现出较稳定延伸，为一板状体，倾向东；在P0-P2勘探线之间出露的矿体，因滑坡作用向下有一定的位移；在P10勘探线西侧的下含矿层中还出现了异常体。P12勘探线以南的低缓异常在向下延拓至250m深度的范围内，在覆盖层下100～250m处的不同深度范围内磁异常特征明显。鲁春矿区磁异常及异常体的向下最大延伸处位于北矿段的P7、P5和P3勘探线区域，南矿段的P6、P8勘探线区域，板状磁性体下延深度可达300～400m。
鲁春矿区磁异常的向下延拓结果表明，P12勘探线以北磁异常及异常体在地表下250m深度的范围内沿倾向延伸是较稳定和连续的，异常体为一板状体，倾向东；P12勘探线以南的第四系覆盖区，在覆盖层下100～250m处的不同深度范围内有磁异常体存在。鲁春矿区磁异常及异常体的向下最大延伸处位于北矿段的P7、P5和P3勘探线区域和南矿段的P6、P8勘探线区域，板状磁性体下延深度可达300～400m，其结果与向上延拓所显示的磁异常中心位置相一致。鲁春矿区磁异常及异常体的空间分布与矿床实测地质剖面的构型相一致，也与剖面中的矿化层（体）的空间位置一一对应。除了上含矿层中有明显的磁异常及异常体外，在P10、P8勘探线西侧的下含矿层中还出现了磁异常及异常体。
图4-3 鲁春矿区高精度磁法的平面等值线图（向上延拓50m）
图4-4 鲁春矿区高精度磁法的平面等值线图（向上延拓100m）
图4-5 鲁春矿区高精度磁法的平面等值线图（向上延拓500m）
图4-6 鲁春矿区P9勘探线地质剖面及磁异常下延拓剖面综合图
图4-7 鲁春矿区P9勘探线地质剖面及异常体计算机拟合剖面综合图
图4-8 鲁春矿区P0勘探线地质剖面及磁异常下延拓剖面综合图
图4-9 鲁春矿区PO勘探线地质剖面及异常体计算机拟合剖面综合图
图4-10 鲁春矿区P6勘探线地质剖面及磁异常下延拓剖面综合图
图4-11 鲁春矿区P6勘探线地质剖面及异常体计算机拟合剖面综合图
图4-12 鲁春矿区P10勘探线地质剖面、磁异常下延拓剖面及异常体计算机拟合综合图
*空间域解析延拓法
根据观测平面或剖面上的重力异常值计算高于它的平面或剖面上异常值的过程称为向上（或向下）延拓。
由于重力异常值与场源到测点距离的平方成反比，因此对于深度相差较大的两个场源体来说，进行同一个高（深）度的延拓，它们各自的异常减弱或增大的速度是不同的。进行上延计算时，浅部场源体引起的范围小、比较尖锐的“高频”异常随高度增加的衰减速度比较快；由深部场源体引起的范围大的宽缓的“低频”异常，随高度增加的衰减速度比较慢。因此，向上延拓有利于相对突出深部异常特征；进行下延计算时，由浅部场源体引起的“高频”异常随深度增加（高度减小）的增大速度比较快，而由深部场源体引起的“低频”异常其增大速度比较慢，因此向下延拓相对突出了浅部异常。
解析延拓可以用积分插值法在空间域进行，也可以通过傅里叶变换在频率域进行，下面介绍空间域剖面延拓方法。
（一）空间域剖面的向上延拓
剖面异常的积分公式可近似地表示为有限个分段积分之和：
地球物理勘探概论
式中：Δg（ih，0）是横坐标为ih点上的重力异常值（以取值的点距为延拓高度h的单位）。把（i－1/2）h与（i＋1/2）h之间的Δg（ξ，0）用其中间值Δg（ih，0）来表示。将i＝0，±1，±2，…，±n分别代入（2-8-6）式，经整理得：
地球物理勘探概论
地球物理勘探概论
从（2-8-7）式可知，随着离窗口中心点距离的增大，延拓系数不断减小。计算延拓值时｜i｜究竟取多大，应根据计算精度而定。
图2-8-7 剖面异常向下延拓的取值点位
i＝1
（二）空间域剖面的向下延拓
重力异常向下延拓值是利用向上延拓值及原始剖面异常值，根据拉格朗日插值原理外推而得。
当取值点如图2-8-7所示，向下延拓值的近似计算公式为
地球物理勘探概论
式中：Δg（h，0），Δg（－h，0）和Δg（0，0）是观测剖面上的已知值；Δg（0，－h）是计算出的上延值；Δg（0，h）便是向下延拓值。
将式（2-8-7）表示的Δg（0，－h）代入式（2-8-8）中，便得到：
地球物理勘探概论
上面介绍的剖面重力异常向上及向下延拓都需要在已知剖面上取值，而且延拓高度应为取值点距的整数倍，所以又称等间距延拓。根据利用已知点数目多少的不同，可导出不同的下延公式。
