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数学的基本结构（张景中）
数学研究的对象，慢慢地显露出了它的轮廓。它研究结构——从不同的系统中抽象出来的共同结构。
首先是集合。集合好像是一片空地、一张白纸、一群没有分派角色的演员。
一旦在集合的元素之间引进一些关系，集合的元素就有了自己的个性，根据关系的性质，集合上开始出现结构。
结构不是人主观上随意指派的，也不是在理念世界永恒存在的，它是总结大量感性经验上升为概念的结果。
布尔巴基学派认为，数学研究的基本结构即母结构有三种：
一种叫做代数结构。集合上有了运算，能够从两个元素生出第三个来，就叫做有了代数结构。前面我们刚刚谈过的群，就是一种基本的代数结构。
一种叫序结构。集合中某些元素之间有先后顺序关系，就叫做有了序结构。序结构也是应用极广的一种结构。数的大小关系，生物的亲子关系，类的包含关系，都是序关系。
还有一种叫拓扑结构。它用来描述连续性、分离性、附近、边界这些空间性质。
我们看到，这几种结构恰好都是现实世界的关系与形式在我们头脑中的反映：
代数结构——运算——来自数量关系；
讲序结构——先后——来自时间观念；
拓扑结构——连续性——来自空间经验。
然而这些东西一旦抽象成数学概念，成为脱离具体内容的*结构*，它就可以用到任何有类似性质的系统之中，而不一定与时空、数有关了。
一个系统可以具有几种结构。如实数系，它有加减与乘除，这是两种互相联系的代数结构，它有大小之分，这是序结构，它的连续性体现了拓扑结构。
基本结构可以加上一些公理派生出子结构，两种以上的结构可以加上联结条件产生复合结构。对于实数，如果a》b，则a+c》b+c，这就表明代数结构与序结构联系起来了。通过结构的变化、复合、交叉，形成形形色色的数学分支，表现为气象万千的数学世界。
当数学家遇到新的研究对象之后，他自然而然地会想，所遇的事物能不能放到某个已知的结构之中?如果可以，便马上动用这个结构的全部已知性质作为克敌制胜的武器。
历史上有过这样的例子：数学家长期不能理解复数，把它叫做虚数。后来发现，复数可以用平面上的点表示，这个发现相当于把复数的代数结构与平面的拓扑结构挂上了钩。复数的研究立刻有了实际意义，找到了应用，获得飞速发展。这表明，把新的陌生的对象纳入已知的结构之中是多么重要。
布尔巴基学派也承认，把数学看成研究各种结构—-这些结构以几种母结构为骨架不断地生长、发展——的科学，仍然是对数学现状的粗略的近似。
可以将数学看成是一个不断发展着的大城市，城市的建筑被街道分隔，又由街道联系起来。街道形成结构，建筑在结构的规范中生长。可是确有很多有特色的建筑，它的特点无法由街道的结构来解释。这就是结构观点的概括性。它无法关心的某些与结构关系不大的局部状况，有时也有重要的意义。例如，数论中的大量孤立的问题(如哥德巴赫问题)，就很难与已知结构很好地联系起来。
布尔巴基学派也主张，结构不应当是静止的，数学的发展可能会发现新的重要基本结构。因为数学是一门生命力旺盛的科学，对它不能“盖棺论定”，不会有终极的真理。
总的看来，布尔巴基学派把数学看成以结构为对象的科学，这种观点是与辩证唯物论一致的。因为：它否定了数学知识的先验观点，主张结构来源于人们实践的经验，正确地描述了数学中结构概念的抽象形成过程；它用整体的观点看数学，着眼于数学各部门的内在联系，说明了是什么使数学统一起来并使它有多样性；它用变化发展的观点看数学，主张结构不是一成不变的；它主张数学的真理性最终要用科学的实践来检验，用科学上的成功经验支持结构观点。
结构观点的产生，不是偶然的。布尔巴基学派自己指出：这是半个多世纪以来(即从19世纪末期到20世纪中期)数学进步的结果。其实也可以说是两千多年数学进步的结果。公理方法从欧几里得开始，到非欧几何产生之后，数学家开始有了现代的公理化观点。这种方法经过第三次数学危机的考验，特别是由于形式主义学派尔伯特的大力提倡，在数学实践中已生根开花，终于更上一层楼，形成了“结构”的观念。
一开始，人们追求公理的完备性或完全性。也就是说，在公理系统中，任何一个命题的成立与否，只能有唯一的解答。这样，具有完全性的公理系统，实质上只能描述一种对象。例如，欧几里得的几何公理，所描述的对象形式上尽管可以多种多样，但是本质上只有一种，这就使公理系统应用的广泛性受到削弱。去掉平行公理，几何公理系统失去了完备性，可是它的适用范围更广了。在去掉了平行公理的几何体系中，证明了的定理，在欧氏几何和罗氏几何中都成立。如果再去掉一些公理，用剩下的公理推证出来的定理，在欧氏、罗氏和黎氏几何中都成立，叫做“绝对几何”的定理。
数学家们发现，公理系统的不完全性不是坏事，而是好事。不完全，可以容纳更丰富的对象。公理是对所研究对象的限制。限制愈多，研究面愈窄；限制适当减少，研究成果的适用范围就更丰富了。
在这种认识的启迪下，数学家们研究了许多不完全的公理系统，如群、环、域、线性空间、概率论、测度论，等等。数学实践证明，对不完全公理系统的研究有强大的生命力，它促使人们对公理系统进行分解，分解成一些更基本——更不完全的公理体系，终于促成了结构观点的出现。
大题全国只有两人做对，高考数学最难有多难
数学应该是很多人上学时的噩梦，因为难度过高，数学也成为高考中的拉分项，只要其他科目不过于差，数学拿高分的人一般都能考出一个好成绩。数学是大多数学生的弱项，而且要学起来太难了，因此每年高考数学这一科的平均分都比其他几科低很多。
在我国高考历史上，最低数学平均分出现在1984年，这一年的数学高考题目是公认最难的。1984年的时候正值高考改革，数学考试的难度大大增加，令无数考生心碎。最后出来的成绩，全国平均分只有二十六分，北京市的平均分更是只有可怜的十七分。大部分考生只会做上面的几道选择题，后面的大题完全不会做，考完之后考场全是抱怨的声音。
不止学生们觉得试题离谱，很多数学老师都觉得这些题目超纲了。高考就是考验学生们过去三年学得是否扎实，但这些数学题目很多都没有见过，学生完全没学过，就算再厉害的人也做不出来吧。为了彻底弄清楚这次考试的难度，安徽省做了一次抽样调查，选择安徽省的原因是此前安徽省的理科成绩一直位于全国前列。
调查中一共选取了七百五十份试卷，其中9.8%的分数在二十分以下，39.7%没有达到三十分，60.5%在四十分以下，81.5%没有超过五十分。调查样本全是来自理科生的，他们的数学成绩都比文科生要好，要是抽取文科生的卷子，调查结果可能会更加惨烈。
在理科成绩较好的安徽，抽取数学成绩较好的学生试卷，最终却得到了这样的结果，可见当年的数学卷子真的存在很大的问题。
一般数学卷子的最后一道大题是最难的，而当年出的那份数学试卷，后面的大题难度都非常高，在抽查的试卷里面，只有1.1%的学生答对了这六道大题，26.1%的人一道题都没有写出来，大题一分都没拿到。最后一道大题依旧是难度最高的，命题意图虽然也和以前一样，都属于递归数列问题，但在难度上和以前完全不是一个等级的，包含的很多知识高中生可能都还没接触到。
据说这道大题当时全国范围内只有两个人回答正确，这两个人自然也拿到了高分，其他的学生全军覆没。那一年的数学高考卷甚至还遭到了《人民教育》的痛批，《人民教育》发文称，这一年的数学卷子完全不符合高考的标准和原则，也脱离了现行中学数学教学要求，试题刁钻古怪，分配不均。
这一年的高考给了很多人一个深刻的教训，尤其是出题老师，在出高考题的时候更加注重题目的平衡性了，之后再也没有出现过难度这么夸张的高考试题。但偶尔也会有出题老师剑走偏锋，要出点难题来为难学生们。比如2008年的高考中，江西高考数学卷又出现了一道超级难题。
这道大题价值十四分，而江西省内所有学生在这一题上取得的平均分只有0.31分，完全写对并且获得高分的人低于十人。这道题不仅让学生们头疼，很多数学老师都表示没见过这么难的题目，做不出来。后来中科院院士都被惊动，院里派出了著名的数学教育家张景中先生，让他来评估这道题的难度。
张景中先生自然是把题目解出来了，但是他接着说，这道题的难度很大，根本不适合放在高考中，只适合高难度的数学竞赛。他在之前就提出过一个教学理念，不要让学生在学习一个公式之后就去做一堆类似的题目，这样根本达不到好的教学效果。实际上，最好的教育不是手把手教会学生怎么去计算，而是让他们学会思考。
但因为我国教育体系目前存在着很大的缺陷，所以目前我国的数学教学还是侧重于让学生记公式和解题方法，追求在最短的时间内解出答案。很多学生看到同一类型的题目，能很快就解决，但出现一种新的从未见过的类型，他们可能就一筹莫展了。
所以很多数学家都不是从传统学校出来的，而是被奥数竞赛体系培养出来的，这种体系更能锻炼学生的思考能力和数学思维。
求精张景中班怎么样
可以。
张景中数学实验班在传统的教学上,更加突出对学生数学学科的培养。
重庆市求精中学校，地址位于交通便利的重庆渝中 中山四路69号，学校迄今已经成立21年，培养了大量优秀人才，学校主要经营中学教育，本着制度与人文相结合的管理思想，凭借美丽的校园环境，舒适的住宿条件和优秀的师资力量已成为每年重庆渝中评价好的学校之一。
数学家的眼光
我国著名数学家张景中院士所著的《数学家的眼光》一书曾获得国家科技进步奖，是他献给中学生的礼物。这本书篇幅不长，但内容却丰富，从三角形的内角和、鸡兔同笼、叠砖问题等一些普通的问题出发，旁征博引，深入分析，阐述了数学家是如何看待和解决这些问题的，从而让读者了解数学的作用和意义。
数学家看问题，关心的是数量关系和空间形式，从个别想到一般，从特殊想到普遍，步步深入，盯住变化中不变的东西，认识变化过程的本质，用变换解决各种问题，挖掘深刻规律。
虽然书中涉及的一些数学理论和推理对初中生而言有点深奥，但大部分内容还是较为通俗易懂的，值得推荐给他们看看。以便他们了解一些定理的演变过程，知其然也知其所以然。
