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给我20道中考数学压轴题及解法.
31、（辽宁沈阳卷）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，点 ．
（1）以 为一边在第一象限内作等边 及 的外接圆 （用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）若 与 轴的另一个交点为点 ，求 ， ， ， 四点的坐标；
（3）求经过 ， ， 三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点 ，使 的面积等于 的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹
（2）由直线 ，求得点 的坐标为 ，点 的坐标为
在 中， ，
，
是等边三角形
，
点 的坐标为 ，连结
是等边三角形
直线 是 的切线
点 的坐标为
（3）设经过 ， ， 三点的抛物线的解析式是
把 代入上式得
抛物线的解析式是
存在点 ，使 的面积等于 的面积
点 的坐标分别为 ， ．
本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决。
32、（山东滨州卷）已知：抛物线 与 轴相交于 两点，且 ．
（Ⅰ）若 ，且 为正整数，求抛物线 的解析式；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围；
（Ⅲ）试判断是否存在 ，使经过点 和点 的圆与 轴相切于点 ，若存在，求出 的值；若不存在，试说明理由；
（Ⅳ）若直线 过点 ，与（Ⅰ）中的抛物线 相交于 两点，且使 ，求直线 的解析式．
（Ⅰ）解法一：由题意得， ．
解得， ．
为正整数， ． ．
解法二：由题意知，当 时， ．
（以下同解法一）
解法三： ，
．
又 ．
．
（以下同解法一．）
解法四：令 ，即 ，
．
（以下同解法三．）
（Ⅱ）解法一： ．
，即 ．
，
．
解得 ．
的取值范围是 ．
解法二：由题意知，当 时，
．
解得： ．
的取值范围是 ．
解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知， ．
，
．
的取值范围是 ．
（Ⅲ）存在．
解法一：因为过 两点的圆与 轴相切于点 ，所以 两点在 轴的同侧，
．
由切割线定理知， ，
即 ． ，
．
解法二：连接 ．圆心所在直线 ，
设直线 与 轴交于点 ，圆心为 ，
则 ．
，
．
在 中，
．
即 ．
解得 ．
（Ⅳ）设 ，则 ．
过 分别向 轴引垂线，垂足分别为 ．
则 ．
所以由平行线分线段成比例定理知， ．
因此， ，即 ．
过 分别向 轴引垂线，垂足分别为 ，
则 ．所以 ． ．
． ．
，或 ．
当 时，点 ． 直线 过 ，
解得
当 时，点 ． 直线 过 ，
解得
故所求直线 的解析式为： ，或 ．
本题对学生有一定的能力要求，涉及了初中数学的大部分重点章节的重点知识，是一道选拔功能卓越的好题。
33、（山东济宁卷）如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。
（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900，
∴四边形OBNM为矩形。
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900
∵ ，AO=BO=1，
∴AM=PM。
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM
∴OM=PN
∵∠OPC=900
∴∠OPM+CPN=900
又∵∠OPM+∠POM=900
∴∠CPN=∠POM
∴△OPM≌△PCN
（2）∵AM=PM=APsin450=
∴NC=PM=
∴BN=OM=PN=1-
∴BC=BN-NC=1- - =
（3）△PBC可能为等腰三角形。
①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）
②当点C在第四象限，且PB=CB时，
有BN=PN=1－
∴BC=PB= PN= -m
∴NC=BN+BC=1－ + -m
由⑵知：NC=PM=
∴1－ + -m=
∴m=1
∴PM= = ，BN=1－ =1－
∴P（ ,1－ ）
∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（ ,1－ ）
此题的设计比较精巧，将几何知识放在坐标系中进行考查，第1题运用相似形等几何知识不难得证，第2小题需利用第1小问的结论来建立函数解析式，第3小题需分类讨论，不要漏解，运用方程思想可以得到答案。
求近两年的中考数学的压轴题
1、已知二次函数
（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。
（2）以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（，两点在抛物线上），请问：△的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值。
2、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，
OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
3．（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．
4、如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。
5、情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．
问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
6．（本题满分12分）如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
7、（2011·济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。
8.(南京)（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
9.（9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
10．（11分）
问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
填写下表，画出函数的图象：
x……1234……
y…………
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
11、(本题12分)
已知两直线，分别经过点A(1，0)，点B，
并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有
，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线
交于点K，如图所示。
(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
(2)抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和x轴
依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。
(3)当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。
12.（2011年广东省）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒。试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？
当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。
13.（2011年桂林市）本题满分12分）已知二次函数的图象如图.
（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.
14、(10分)如图，已知抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
15. （本题满分10分） 如图1，把一个边长为2的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线c1交x轴于点M、N(M在N的左边).
(1)求抛物线c1的解析式及点M、N的坐标；
(2)如图2，另一个边长为2的正方形的中心G在点M上，、在x轴的负半轴上(在的左边)，点在第三象限，当点G沿着抛物线c1从点M移到点N，正方形随之移动，移动中始终与x轴平行.
①直接写出点C’、D’移动路线形成的抛物线C(C’)、C（D’）的函数关系式；
②如图3，当正方形第一次移动到与正方形ABCD有一边在同一直线上时，
求点G的坐标．
16．（本题满分12分）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
（1）求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等
腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；
（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，
线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。
17．如图1，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象限.点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向运动，同时，点Q从点E（4，0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动.设运动时间为t(s).
（1）求正方形ABCD的边长.
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t(s)之间的函数图像为抛物线的一部分（如图2所示），求P，Q两点的运动速度.
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t(s)的函数解析式及面积S取最大值时点P的坐标.
（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时，能使∠OPQ＝90°吗？若能，直接写出这样的点P的个数；若不能，直接写不能.
1、已知二次函数
（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。
（2）以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（，两点在抛物线上），请问：△的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值。
2、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，
OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
3．（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．
4、如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。
5、情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．
问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
6．（本题满分12分）如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
7、（2011·济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。
8.(南京)（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
9.（9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
10．（11分）
问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
填写下表，画出函数的图象：
x……1234……
y…………
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
11、(本题12分)
已知两直线，分别经过点A(1，0)，点B，
并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有
，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线
交于点K，如图所示。
(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
(2)抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和x轴
依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。
(3)当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。
12.（2011年广东省）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒。试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？
当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。
13.（2011年桂林市）本题满分12分）已知二次函数的图象如图.
（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.
14、(10分)如图，已知抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
15. （本题满分10分） 如图1，把一个边长为2的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线c1交x轴于点M、N(M在N的左边).
(1)求抛物线c1的解析式及点M、N的坐标；
(2)如图2，另一个边长为2的正方形的中心G在点M上，、在x轴的负半轴上(在的左边)，点在第三象限，当点G沿着抛物线c1从点M移到点N，正方形随之移动，移动中始终与x轴平行.
①直接写出点C’、D’移动路线形成的抛物线C(C’)、C（D’）的函数关系式；
②如图3，当正方形第一次移动到与正方形ABCD有一边在同一直线上时，
求点G的坐标．
16．（本题满分12分）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
（1）求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等
腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；
（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，
线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。
17．如图1，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象限.点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向运动，同时，点Q从点E（4，0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动.设运动时间为t(s).
（1）求正方形ABCD的边长.
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t(s)之间的函数图像为抛物线的一部分（如图2所示），求P，Q两点的运动速度.
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t(s)的函数解析式及面积S取最大值时点P的坐标.
（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时，能使∠OPQ＝90°吗？若能，直接写出这样的点P的个数；若不能，直接写不能.
求初三中考的数学压轴题！
2008年全国中考数学压轴题精选精析（二）
14.（08江苏常州）（本题答案暂缺）28.如图,抛物线 与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
(1) 求点A的坐标;
(2) 以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
(3) 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当 时,求x的取值范围.
13.（08江苏淮安）（本题答案暂缺）28．(本小题14分)
如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D.
(1)写出点P的坐标；
(2)连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；
(3)在(2)的条件下，连结BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．
14.（08江苏连云港）24．（本小题满分14分）
如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的 ， 处，直角边 在 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至 处时，设 与 分别交于点 ，与 轴分别交于点 ．
（1）求直线 所对应的函数关系式；
（2）当点 是线段 （端点除外）上的动点时，试探究：
①点 到 轴的距离 与线段 的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及 取最大值时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（08江苏连云港24题解析）24．解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，
知 两点的坐标分别为 ．
设直线 所对应的函数关系式为 ． 2分
有 解得
所以，直线 所对应的函数关系式为 ． 4分
（2）①点 到 轴距离 与线段 的长总相等．
因为点 的坐标为 ，
所以，直线 所对应的函数关系式为 ．
又因为点 在直线 上，
所以可设点 的坐标为 ．
过点 作 轴的垂线，设垂足为点 ，则有 ．
因为点 在直线 上，所以有 ． 6分
因为纸板为平行移动，故有 ，即 ．
又 ，所以 ．
法一：故 ，
从而有 ．
得 ， ．
所以 ．
又有 ． 8分
所以 ，得 ，而 ，
从而总有 ． 10分
法二：故 ，可得 ．
故 ．
所以 ．
故 点坐标为 ．
设直线 所对应的函数关系式为 ，
则有 解得
所以，直线 所对的函数关系式为 ． 8分
将点 的坐标代入，可得 ．解得 ．
而 ，从而总有 ． 10分
②由①知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
． 12分
当 时， 有最大值，最大值为 ．
取最大值时点 的坐标为 ． 14分
15.（08江苏连云港）25．（本小题满分12分）
我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段 的最小覆盖圆就是以线段 为直径的圆．
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某地有四个村庄 （其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．
（08江苏连云港25题解析）25．解：（1）如图所示： 4分
（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）
（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 6分
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． 8分
（3）此中转站应建在 的外接圆圆心处（线段 的垂直平分线与线段 的垂直平分线的交点处）． 10分
理由如下：
由 ，
， ，
故 是锐角三角形，
所以其最小覆盖圆为 的外接圆，
设此外接圆为 ，直线 与 交于点 ，
则 ．
故点 在 内，从而 也是四边形 的最小覆盖圆．
所以中转站建在 的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
12分
16（08江苏南京）28．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示 与 之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；
（2）请解释图中点 的实际意义；
图象理解
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段 所表示的 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
（08江苏南京28题解析）28．（本题10分）
解：（1）900； 1分
（2）图中点 的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇． 2分
（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，
所以慢车的速度为 ； 3分
当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为 ，所以快车的速度为150km/h． 4分
（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶 到达乙地，此时两车之间的距离为 ，所以点 的坐标为 ．
设线段 所表示的 与 之间的函数关系式为 ，把 ， 代入得
解得
所以，线段 所表示的 与 之间的函数关系式为 ． 6分
自变量 的取值范围是 ． 7分
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．
把 代入 ，得 ．
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是 ，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h． 10分
17.（08江苏南通）（第28题14分）28．已知双曲线 与直线 相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线 上的动点．过点B作BD‖y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC‖x轴交双曲线 于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．
（08江苏南通28题解析）28．解：（1）∵D（－8，0），
∴B点的横坐标为－8，代入 中，得y=－2．
∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．
从而 ．……………………3分
（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴ ，B（－2m，－ ），C（－2m，－n），E（－m，－n）． ……4分
S矩形DCNO ，S△DBO= ，S△OEN = ， …………7分
∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴ ． ……………………8分
由直线 及双曲线 ，得A（4，1），B（－4，－1），
∴C（－4，－2），M（2，2）．………………………………………………9分
设直线CM的解析式是 ，由C、M两点在这条直线上，得
解得 ．
∴直线CM的解析式是 ．………………………………………11分
（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是
．
同理 ，…………13分
∴ ．……………14分
18.（08江苏宿迁）27．（本题满分12分）
如图，⊙ 的半径为 ，正方形 顶点 坐标为 ，顶点 在⊙ 上运动．
(1)当点 运动到与点 、 在同一条直线上时,试证明直线 与⊙ 相切；
(2)当直线 与⊙ 相切时，求 所在直线对应的函数关系式；
(3)设点 的横坐标为 ，正方形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并求出 的最大值与最小值．
（08江苏宿迁27题解析）27．解：(1) ∵四边形 为正方形 ∴
∵ 、 、 在同一条直线上 ∴ ∴直线 与⊙ 相切；
(2)直线 与⊙ 相切分两种情况:
①如图1, 设 点在第二象限时,过 作 轴于点 ,设此时的正方形的边长为 ,则 ,解得 或 (舍去)．
由 ∽ 得
∴ ∴ ，
故直线 的函数关系式为 ；
②如图2, 设 点在第四象限时,过 作 轴于点 ,设此时的正方形的边长为 ,则 ,解得 或 (舍去)．
由 ∽ 得
∴ ∴ ，故直线 的函数关系式为 .
(3)设 ,则 ,由 得
∴
∵
∴ .
19.（08江苏泰州）29．已知二次函数 的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0， ）。
（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）
（2）若反比例函数 图像与二次函数 的图像在第一象限内交于点A（x0,y0）, x0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）
（3）若反比例函数 的图像与二次函数 的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为 满足2《 《3，试求实数k的取值范围。（5分）
（08江苏泰州29题解析）九、（本题满分14分）29（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)…………………………1分
（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）
将（0，— ）代入，解得a= .
∴抛物线解析式为y= x2+x- …………………………………3分
（无论解析式是什么形式只要正确都得分）
画图（略）。（没有列表不扣分）…………………………………5分
（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7分
由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。…………………………………………………9分
（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，
对y1= x2+x- , y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），
y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，
即 ＞ ×22+2- ，解得K＞5。…………………………………11分
同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，
即 ×32+3— ＞ ，解得K＜18。…………………………………13
所以K的取值范围为5 ＜K＜18………………………………………14分
20.（08江苏无锡）27．（本小题满分10分）
如图，已知点 从 出发，以1个单位长度/秒的速度沿 轴向正方向运动，以 为顶点作菱形 ，使点 在第一象限内，且 ；以 为圆心， 为半径作圆．设点 运动了 秒，求：
（1）点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）当点 在运动过程中，所有使 与菱形 的边所在直线相切的 的值．
（08江苏无锡27题解析）27．解：（1）过 作 轴于 ，
， ，
， ，
点 的坐标为 ． （2分）
（2）①当 与 相切时（如图1），切点为 ，此时 ，
， ，
． （4分）
②当 与 ，即与 轴相切时（如图2），则切点为 ， ，
过 作 于 ，则 ， （5分）
， ． （7分）
③当 与 所在直线相切时（如图3），设切点为 ， 交 于 ，
则 ， ，
． （8分）
过 作 轴于 ，则 ，
，
化简，得 ，
解得 ，
，
．
所求 的值是 ， 和 ． （10分）
21.（08江苏无锡）28．（本小题满分8分）
一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）
（08江苏无锡28题解析）28．解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为 ，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．
（3分）（图案设计不唯一）
（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得 ．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设 ，则 ， ．
由 ，得 ，
， ，
即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． （6分）
或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得 ， 是 的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则 ， ， ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求． （6分）
要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的 去覆盖边长为30的正方形 ，设 经过 ， 与 交于 ，连 ，则 ，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形 ．
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． （8分）
评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．
22.（08江苏徐州）（本题答案暂缺）28.如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q
【探究一】在旋转过程中，
（1） 如图2，当 时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.
（2） 如图3，当 时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.
（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 时，EP与EQ满足的数量关系式为_________,其中 的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：
（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.
（2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.
23.（08江苏盐城）（本题答案暂缺）28．（本题满分12分）
如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC＝ ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．
24.（08江苏扬州）（本题答案暂缺）26．（本题满分14分）
已知：矩形ABCD中，AB=1，点M在对角线AC上，直线l过点M且与AC垂直，与AD相交于点E。
（1）如果直线l与边BC相交于点H（如图1），AM= AC且AD=A，求AE的长；（用含a的代数式表示）
（2）在（1）中，又直线l 把矩形分成的两部分面积比为2：5，求a的值；
（3）若AM= AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长；
（4）如果直线l分别与边AD、AB相交于点E、F，AM= AC。设AD长为x，△AEF的面积为y，求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围。（求x的取值范围可不写过程）
寻求2009年数学中考压轴题100题和答案（有详细过程）
2009中考数学压轴题精选
2009年9月11日星期五
1、（四川省达州市）如图11，抛物线 与 轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.
(1)求a的值及直线AC的函数关系式；
(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.
2、（四川省资阳市）如图9，已知抛物线y= x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．
(1) (3分) 求直线l的函数解析式；
(2) (3分) 求点D的坐标；
(3) (3分) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（四川省绵阳市）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；
（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．
4、（四川省眉山市）已知：直线 与 轴交于A，与 轴交于D，抛物线 与直线交于A、E两点，与 轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在 轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使 的值最大，求出点M的坐标．
5、（四川省成都市）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y= 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为 ,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝ 。
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?
6、（四川省广安市）已知：抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA《OC）是方程 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 ．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），
过点D作DE‖BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为
m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自
变量m的取值范围． S是否存在最大值？若存在，求出最
大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
7、（四川省南充市）如图9，已知正比例函数和反比例函数的图
象都经过点 ．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点 ，求 的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与 轴、 轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积 与四边形OABD的面积S满足： ？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
8、（四川省凉山州）如图，已知抛物线 经过 ， 两点，顶点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将 绕点 顺时针旋转90°后，点 落到点 的位置，将抛物线沿 轴平移后经过点 ，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 轴的交点为 ，顶点为 ，若点 在平移后的抛物线上，且满足 的面积是 面积的2倍，求点 的坐标．
9、（四川省乐山市）如图（16），在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与 轴交于 两点， 为抛物线的顶点， 为坐标原点．若 的长分别是方程 的两根，且
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点 作 交抛物线于点 ，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点 任作直线 交线段 于点 求 到直线 的距离分别为 ，试求 的最大值．
10、（四川省泸州市）如图12，已知二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，
与y轴相交于点C，且 ．
(1)求c的值；
(2)若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；
(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11、（2008四川省广安市）如图10，已知抛物线 经过点（1，-5）和（-2，4）
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）设此抛物线与直线 相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于 轴的直线 与抛物线交于点M，与直线 交于点N，交 轴于点P，求线段MN的长（用含 的代数式表示）．
（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在 的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
12、（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系 中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为 ，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
附：参考答案
1、（四川省达州市）
解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分
∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）
设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b
6=-2k+b解得 k=-2
b=2
∴直线AC为y=-2x+2（2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4分
∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92
=-2a+122+92
∴当a=-12时，PM的最大值为92
②M1（0，6）
M2-14，678
2、（四川省资阳市）
(1) 配方,得y= (x–2)2 –1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1) ． 1分
取x=0代入y= x2 –2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)． 2分
设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有
解得 ∴直线l的解析式为y=x–3． 3分
(2) 连结AD交O′C于点E，∵ 点D由点A沿O′C翻折后得到，∴ O′C垂直平分AD．
由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴ 在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴ O′C=2 ．
据面积关系，有 ×O′C×AE= ×O′A×CA，∴ AE= ，AD=2AE= ．
作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴ ，
∴ AF= •AC= ，DF= •O′A= ， 5分
又 ∵OA=1，∴点D的纵坐标为1– = – ，∴ 点D的坐标为( ，– )． 6分
(3) 显然，O′P‖AC，且O′为AB的中点，
∴ 点P是线段BC的中点，∴ S△DPC= S△DPB ．
故要使S△DQC= S△DPB，只需S△DQC=S△DPC ．
7分
过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC ，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．
容易求得过点C(0，–3)、D( ，– )的直线的解析式为y= x–3，
据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y= x– ．
令 x2–2x＋1= x– ，解得 x1=2，x2= ，代入y= x– ，得y1= –1，y2= ，
因此，抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2( ， )，使得S△DQC= S△DPB． 9分
(仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣1分)
3、（四川省绵阳市）
（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形．
如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE．
∴ ∠EGO = 45，从而 ∠AGE = 135．
由BF是外角平分线，得 ∠EBF = 135，∴ ∠AGE =∠EBF．
∵ ∠AEF = 90，∴ ∠FEB +∠AEO = 90．
在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90，
∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．
（2）假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．
由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴ FH = OE，EH = OA．
∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a．
由BF是外角平分线，知∠FBH = 45，∴ BH = FH = a．
又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，
∴ EH = m－a + a = m．
又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾．
因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．
（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a．
由 ∠AEF = 90，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，
∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，
且 ，即 ，
整理得 nh = ah + am－a2，∴ ．
把h =（t + 1）a 代入得 ，
即 m－a =（t + 1）（n－a）．
而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．
化简得 ta = n，解得 ．
∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB边上．
∴当E在OB边上且离原点距离为 处时满足条件，此时E（ ，0）．
4、（四川省眉山市）
（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入 得
解得
∴抛物线的解折式为 ． （2分）
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为
则E（ ， ）．
又∵点E在直线 上，
∴ ．
解得 （舍去）， ．
∴E的坐标为（4，3）． （4分）
（Ⅰ）当A为直角顶点时
过A作 交 轴于 点，设 ．
易知D点坐标为（ ，0）．
由 得
即 ，∴ ．
∴ ． （5分）
（Ⅱ）同理，当 为直角顶点时， 点坐标为（ ，0）． （6分）
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作 轴于 ，设 ．
由 ，得 ．
．
由 得 ．
解得 ， ．
∴此时的点 的坐标为（1，0）或（3，0）． （8分）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（ ，0）或（1，0）或（3，0）或（ ，0）
（Ⅲ）抛物线的对称轴为 ． （9分）
∵B、C关于 对称，
∴ ．
要使 最大，即是使 最大．
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时 的值最大． （10分）
易知直线AB的解折式为 ．
∴由 得 ∴M（ ，－ ）． （11分）
5、（四川省成都市）
6、（四川省广安市）解：（1）∵OA、OC的长是x2－5x+4=0的根，OA《OC
∴OA=1，OC=4
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴
∴A（－1，0） C（0，－4）
∵抛物线 的对称轴为
∴由对称性可得B点坐标为（3，0）
∴A、B、C三点坐标分别是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）
（2）∵点C（0，－4）在抛物线 图象上 ∴
将A（－1，0），B（3，0）代入 得 解之得
∴ 所求抛物线解析式为：
（3）根据题意， ，则
在Rt△OBC中，BC= =5
∵ ，∴△ADE∽△ABC
∴
∴
过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=
∴
∴EF= DE= =4－m
∴S△CDE=S△ADC－S△ADE
= （4－m）×4 （4－m）（ 4－m）
= m2+2m（0《m《4）
∵S= （m－2）2+2， a= 《0
∴当m=2时，S有最大值2.
∴点D的坐标为（1，0）.
7、（四川省南充市）
解：（1）设正比例函数的解析式为 ，
因为 的图象过点 ，所以
，解得 ．
这个正比例函数的解析式为 ． （1分）
设反比例函数的解析式为 ．
因为 的图象过点 ，所以
，解得 ．
这个反比例函数的解析式为 ． （2分）
（2）因为点 在 的图象上，所以
，则点 ． （3分）
设一次函数解析式为 ．
因为 的图象是由 平移得到的，
所以 ，即 ．
又因为 的图象过点 ，所以
，解得 ，
一次函数的解析式为 ． （4分）
（3）因为 的图象交 轴于点 ，所以 的坐标为 ．
设二次函数的解析式为 ．
因为 的图象过点 、 、和 ，
所以 （5分） 解得
这个二次函数的解析式为 ． （6分）
（4） 交 轴于点 ， 点 的坐标是 ，
如图所示，
．
假设存在点 ，使 ．
四边形 的顶点 只能在 轴上方， ，
．
， ． （7分）
在二次函数的图象上，
．
解得 或 ．
当 时，点 与点 重合，这时 不是四边形，故 舍去，
点 的坐标为 ． （8分）
8、（四川省凉山州）解：（1）已知抛物线 经过 ，
解得
所求抛物线的解析式为 ． 2分
（2） ， ，
可得旋转后 点的坐标为 3分
当 时，由 得 ，
可知抛物线 过点
将原抛物线沿 轴向下平移1个单位后过点 ．
平移后的抛物线解析式为： ． 5分
（3） 点 在 上，可设 点坐标为
将 配方得 ， 其对称轴为 ． 6分
①当 时，如图①，
此时
点的坐标为 ． 8分
②当 时，如图②
同理可得
此时
点 的坐标为 ．
综上，点 的坐标为 或 ．-----------------10分
9、（四川省乐山市）
解：（1）解方程 得
，而
则点 的坐标为 ，点 的坐标为
1分
过点 作 轴于 则 为 的中点．
的坐标为
又因为
的坐标为 2分
令抛物线对应的二次函数解析式为
抛物线过点
则 得
故抛物线对应的二次函数解析式为 （或写成 ） 4分
（2） 5分
又
令点 的坐标为 则有 6分
点 在抛物线上， 7分
化简得 解得 （舍去）．
故点 的坐标为 8分
（3）由（2）知 而
9分
过 作
10分
11分
即此时 的最大值为 13分
10、（四川省泸州市）
11、（2008四川省广安市）
12、（重庆市）
解：（1）由已知，得 ， ，
，
．
． （1分）
设过点 的抛物线的解析式为 ．
将点 的坐标代入，得 ．
将 和点 的坐标分别代入，得
（2分）
解这个方程组，得
故抛物线的解析式为 ． （3分）
（2） 成立． （4分）
点 在该抛物线上，且它的横坐标为 ，
点 的纵坐标为 ． （5分）
设 的解析式为 ，
将点 的坐标分别代入，得
解得
的解析式为 ． （6分）
， ． （7分）
过点 作 于点 ，
则 ．
，
．
又 ，
．
．
． （8分）
．
（3） 点 在 上， ， ，则设 ．
， ， ．
①若 ，则 ，
解得 ． ，此时点 与点 重合．
． （9分）
②若 ，则 ，
解得 ， ，此时 轴．
与该抛物线在第一象限内的交点 的横坐标为1，
点 的纵坐标为 ．
． （10分）
③若 ，则 ，
解得 ，
，此时 ， 是等腰直角三角形．
过点 作 轴于点 ，则 ，设 ， ．
．解得 （舍去）．
． （12分）
综上所述，存在三个满足条件的点 ，
即 或 或 ．
初中数学压轴中考题
全国中考数学压轴题精选1
84.(08辽宁12市26题)26.如图16,在平面直角坐标系中,直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,抛物线 经过 三点.
(1)求过 三点抛物线的解析式并求出顶点 的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点 ,使 为直角三角形,若存在,直接写出 点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线 上是否存在一点 ,使得 的周长最小,若存在,求出 点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)存在
理由:
解法一:
延长BC 到B’点 ,使B’C=BC ,连接B’F 交直线 AC于点M ,则点M 就是所求的点.
为什么点M就是所求的点呢？(2)若P点存在,若A或B为直角顶点,则P点在AB的垂线上,显然是不可能在抛物线上取到的.故只能P点为直角顶点,且在X轴下方.
不妨换个角度思考,P点在以AB为直径的圆与抛物线的交点上,其圆心为(1,0)(抛物线对称轴与AB交点),半径为2.由此很容易得到一个特殊点(0,-根号3)满足条件,也就是C点,相应另一点自然为(2,-根号3).
(3)由第二问得到BC垂直AC,延长BC 到B’点 ,使B’C=BC ,实际上是做出B点关于直线AC的对称点.这样MB+MF+BF=B`M+MF+BF,由于BF固定,此时MB+MF最小,故M为所求.
1.（08福建莆田）26．（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：抛物线 的对称轴为 ）
（08福建莆田26题解析）26（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)
因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3
所以抛物线解析式为
解法二：设抛物线的解析式为 ，
依题意得：c=4且 解得
所以 所求的抛物线的解析式为
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB
即
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 – = ，
所以t的值是
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为
所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线 对称
连接AQ交直线 于点M，则MQ+MC的值最小
过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900
DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO
即
所以QE= ，DE= ，所以OE = OD + DE=2+ = ，所以Q（ ， ）
设直线AQ的解析式为
则 由此得
所以直线AQ的解析式为 联立
由此得 所以M
则：在对称轴上存在点M ，使MQ+MC的值最小。
2.（08甘肃白银等9市）28．（12分）如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；
(2) 当t= 秒或 秒时，MN= AC；
(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．
（08甘肃白银等9市28题解析）28． 本小题满分12分
解：(1)（4，0），（0，3）； 2分
(2) 2，6； 4分
(3) 当0＜t≤4时，OM=t．
由△OMN∽△OAC，得 ，
∴ ON= ，S= ． 6分
当4＜t＜8时，
如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4．
方法一：
由△DAM∽△AOC，可得AM= ，∴ BM=6- ． 7分
由△BMN∽△BAC，可得BN= =8-t，∴ CN=t-4． 8分
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积
=12- - （8-t）（6- ）-
= ． 10分
方法二：
易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t．7分
由△BMN∽△BAC，可得BM= =6- ，∴ AM= ．8分
以下同方法一．
(4) 有最大值．
方法一：
当0＜t≤4时，
∵ 抛物线S= 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，
∴ 当t=4时，S可取到最大值 =6； 11分
当4＜t＜8时，
∵ 抛物线S= 的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S＜6．
综上，当t=4时，S有最大值6． 12分
方法二：
∵ S=
∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示． 11分
显然，当t=4时，S有最大值6． 12分
说明：只有当第（3）问解答正确时，第（4）问只回答“有最大值”无其它步骤，可给1分；否则，不给分．
3.（08广东广州）25、（2008广州）（14分）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米
（1）当t=4时，求S的值
（2）当 ，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值
（08广东广州25题解析）25．（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，
重合部分是 ＝
4.（08广东深圳）22．如图9，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB＝OC ，tan∠ACO＝ ．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
（08广东深圳22题解析）22．（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分
将A、B、C三点的坐标代入得 ……………………2分
解得： ……………………3分
所以这个二次函数的表达式为： ……………………3分
方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ………………………1分
设该表达式为： ……………………2分
将C点的坐标代入得： ……………………3分
所以这个二次函数的表达式为： ……………………3分
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） ……………………4分
理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0） ……………………4分
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3） ……………………5分
方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0） ………………………4分
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）
代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
∴存在点F，坐标为（2，－3） ………………………5分
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R》0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得 …………6分
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r》0），
则N（r+1，－r），
代入抛物线的表达式，解得 ………7分
∴圆的半径为 或 ． ……………7分
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为 ．……………8分
设P（x， ），则Q（x，－x－1），PQ ．
……………………9分
当 时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为 ， ． ……………………10分
5.（08贵州贵阳）25．（本题满分12分）(本题暂无答案)
某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加 元．求：
（1）房间每天的入住量 （间）关于 （元）的函数关系式．（3分）
（2）该宾馆每天的房间收费 （元）关于 （元）的函数关系式．（3分）
（3）该宾馆客房部每天的利润 （元）关于 （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时， 有最大值？最大值是多少？（6分）
6.（08湖北恩施）六、(本大题满分12分)
24. 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD ＋CE =DE .
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD ＋CE =DE 是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
（08湖北恩施24题解析）六、(本大题满分12分)
24. 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA 1分
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠C=45°
∴∆ABE∽∆DCA 3分
(2)∵∆ABE∽∆DCA
∴
由依题意可知CA=BA=
∴
∴m= 5分
自变量n的取值范围为1《n《2. 6分
(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n
∵m=
∴m=n=
∵OB=OC= BC=1
∴OE=OD= －1
∴D(1－ , 0) 7分
∴BD=OB－OD=1-( －1)=2－ =CE, DE=BC－2BD=2-2(2－ )=2 －2
∵BD ＋CE =2 BD =2(2－ ) =12－8 , DE =(2 －2) = 12－8
∴BD ＋CE =DE 8分
(4)成立 9分
证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,
∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.
连接HD,在∆EAD和∆HAD中
∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.
∴∆EAD≌∆HAD
∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD +HB =DH
即BD ＋CE =DE 12分
7.（08湖北荆门）28．（本小题满分12分）
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=－4ac．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；
(3) 根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?
（08湖北荆门28题解析）28．解：(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1．
又b=-4ac, 顶点A(- ,0),
∴- = =2c=2．∴A(2,0)． ………………………………………2分
将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0 ，
∴ 解得a = ,b =-1.
故抛物线的解析式为y= x2-x+1． ………………………………………4分
另解: 由抛物线过B(0,1) 得c=1．又b2-4ac=0, b=-4ac，∴b=-1． ………2分
∴a= ,故y= x -x+1． ……………………………………………4分
(2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y),
作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC．
∵A在以BC为直径的圆上,∴∠BAC=90°．
∴ △AOB∽△CDA．
∴OB•CD=OA•AD．
即1•y=2(x-2)， ∴y=2x-4． ……………………6分
由 解得x1=10,x2=2．
∴符合题意的点C存在，且坐标为 (10,16)，或(2,0)． ………………………8分
∵P为圆心，∴P为BC中点．
当点C坐标为 (10,16)时，取OD中点P1 ，连PP1 , 则PP1为梯形OBCD中位线．
∴PP1= (OB+CD)= ．∵D (10,0), ∴P1 (5,0), ∴P (5, )．
当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P2 ，连PP2 , 则PP2为△OAB的中位线．
∴PP2= OB= ．∵A (2,0), ∴P2(1,0), ∴P (1, )．
故点P坐标为(5, ),或(1, )． ……………………………………10分
(3)设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1), P(x2,y2), C(x3,y3)，由(2)可知：
………………………………………12分
8.（08湖北荆州25题解析）（本题答案暂缺）25．（本题12分）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90º，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（1，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止.设平移时间为t（s），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S.
（1）求折痕EF的长；
（2）是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线 的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.
9.（08湖北天门）（本题答案暂缺）24．(本小题满分12分)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒 个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．
(1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示)
(2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？
(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值．
10.（08湖北武汉）（本题答案暂缺）25.（本题 12分）如图 1，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1,0），C（3,2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将 四 边 形ABCD面积二等分，求k的值；（3）如图2，过点 E（1，-1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与 点 A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标.
（08湖北武汉25题解析）25.⑴ ；⑵ ；⑶M（3，2），N（1，3）
11.（08湖北咸宁）24．（本题(1)～(3)小题满分12分，(4)小题为附加题另外附加2分）
如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标 （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2) 求正方形边长及顶点C的坐标；
(3) 在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
(1)附加题：（如果有时间，还可以继续
解答下面问题，祝你成功！）
如果点P、Q保持原速度速度不
变，当点P沿A→B→C→D匀
速运动时，OP与PQ能否相等，
若能，写出所有符合条件的t的
值；若不能，请说明理由．
（08湖北咸宁24题解析）24．解：（1） (1,0) -----------------------------1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度．-------------------------------3分
(2) 过点 作BF⊥y轴于点 ， ⊥ 轴于点 ，则 ＝8， .
∴ .
在Rt△AFB中， .----------------------------5分
过点 作 ⊥ 轴于点 ,与 的延长线交于点 .
∵ ∴△ABF≌△BCH.
∴ .
∴ .
∴所求C点的坐标为（14，12）.------------7分
(3) 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥ 轴于点N，
则△APM∽△ABF.
∴ . .
∴ . ∴ .
设△OPQ的面积为 (平方单位)
∴ (0≤ ≤10) ------------------10分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分.
∵ 《0 ∴当 时, △OPQ的面积最大.------------11分
此时P的坐标为( ， ) . ---------------------------------12分
(4) 当 或 时, OP与PQ相等.---------------------------14分
对一个加1分,不需写求解过程.
12.（08湖南长沙）26.如图，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA.
（1）当∠BAD=75时，求BC⌒的长；
（2）求证：BC∥AD∥FE；
（3）设AB= ，求六边形ABCDEF的周长L关于 的函数关系式，并指出 为何值时，L取得最大值.
（08湖南长沙26题解析）26．(1)连结OB、OC，由∠BAD=75，OA=OB知∠AOB=30，（1分）
∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30，∴∠BOC=120，（2分）
故BC⌒的长为 ．（3分）
(2)连结BD，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD，（5分）
同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE．（6分）
(3)过点B作BM⊥AD于M，由(2)知四边形ABCD为等腰梯形，
从而BC=AD-2AM=2r-2AM．（7分）
∵AD为直径，∴∠ABD=90，易得△BAM∽△DAB
∴AM= = ，∴BC=2r- ，同理EF=2r- （8分）
∴L=4x+2(2r- )= = ，其中0＜x＜ （9分）
∴当x=r时，L取得最大值6r．（10分）
13（08湖南益阳）七、(本题12分)
24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.
如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
（08湖南益阳24题解析）七、(本题12分)
24．解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；
则设抛物线的解析式为 (a≠0)
又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1
∴y=x2-2x-33分
自变量范围：-1≤x≤34分
解法2：设抛物线的解析式为 (a≠0)
根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上
∴ ，解之得：
∴y=x2-2x-33分
自变量范围：-1≤x≤34分
(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，
在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=
在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4
∴点C、E的坐标分别为(0， )，(-3,0) 6分
∴切线CE的解析式为 8分
(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0) 9分
由题意可知方程组 只有一组解
即 有两个相等实根，∴k=-211分
∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-312分
