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最小的合数是几

最小的合数是几(最小的合数是多少)

jnlyseo998998 jnlyseo998998 发表于2022-11-30 04:00:12 浏览53 评论0

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最小的合数是多少

根据定义:对于 不等于 0 和 ±1 的 整数 p,若只有 平凡因数 ±1 和 ±p ,则称 p 为素数(质数,不可约数),否则 称 p 为合数(可约数)。

最小负合数显然不存在。

对于非负个位整数:

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

  • 0、1 既非素数又非合数;

  • 2 是最小的(正)素数,也是唯一的偶数(正)素数;
  • 3 是最小的奇数(正)素数;
  • 4 是最小的(正)合数,也是最小的偶数(正)合数;
  • 3和5、5和7 都是孪生素数;
  • 6、8 是(正)合数,除 ±2 外 所有偶数都是合数;
  • 9 是最小的奇数(正)合数。

(补充说明)

有网友提出:“素数的定义应该只包括正数”,并指出该定义出自《数学手册》。可是,我的以上定义,来自于 潘承洞,潘承彪的《初等数论》也没有出错的可能呀!那么矛盾出在哪里?经过如下一番思考:


首先,找到《代数数论》或《抽象代数》关于 不可约元 和 素元 有如下定义:

设 (D, +, ·) 是 整环(即,没有非零零因子的,元素大于等于2的,交换幺环),有 p ∈D,p不可逆元,对于 任意 a, b ∈ D,

  • 若 p ≠ 0 且 p = a ·b 蕴涵 a可逆 或 b可逆,则称 p 为 不可约元;

  • 若 p | a ·b 蕴涵 p|a 或 p|b,则称 p 为 素元。

以 整数环 Z 为例,

因为 -2 = (-1) · 2 蕴涵 -1 可逆((-1) · (-1) = 1),-2 = 1 · (-2) 蕴涵 1可逆(1 · 1 = 1),所有 -2 是 不可约元;

假设 -2 不是素元,则有 -2 | a · b 并且 -2 ∤ a,-2 ∤ b,于是必然有 c | a, d | b 使得 -2 = c · d,但是 -2 是 不可约元,所有 c,d 必有一个 是可逆的,不妨设是 c。而 Z 中 只有 ±1 可逆,于是 c = ±1,则 d = ±2,而 根据 d | b 得到 -2 | b ,这和 -2 ∤ b 矛盾,因此 假设不成立, -2 是 素元。

所以,不管是 《代数数论》还是 《抽象代数》,在 整数环 Z 中 -2 既是 不可约元 又是 素元,这说明,二潘的《初等数论》完全正确。

然后,一般来说,素元一定是不可约元,但是 不可约元 不一定是 素元。不过,可以证明: 对于 整数环 Z 来说 不可约元就是 素元(证明略)。

由此可见,二潘的《初等数论》中,在整数上,将 不可约数和素数 作为同一概念是完全正确的。

最后,注意到下面的定义:

对于 a, b ∈ D , a, b ≠ 0,若 a | b 并且 b | a 则称 a 与 b 相伴,记为 a ∼ b。

在 整数环 Z 中,显然 -2 ∼ 2、p ∼ -p。

相伴的素元 认为是同一个元素,唯一因子分解,也是在 相伴 下唯一的。


我的结论如下:

因为 正素数 p (正合数 a) ∼ 负素数 -p(负合数 -a) ,所以 基于 相伴的等价性,只要将 正素数(正合数)的性质研究清楚了,则 负素数(负合数)也就研究清楚了。

因此 在 《初等数论》中,没有特殊说明,素数(合数)默认指的是 正素数(正合数),但为了和以后的 《抽象代数》和《代数数论》保持一致,大家请记住:素数(合数)还包括负数。


(另外,对于 中小学生 同学,请以《中小学数学》课本上素数大于等于 2 的那个定义来,免得考试被老师打叉。)

最小的合数是几

最小的合数是4。

合数指自然数中除du了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。

自然数从0开始;

0和1既不是质数也不是合数;

2和3都只有1和它本身一个因数,因此不是合数;

4有1,2,4共计3个因数,因此,4是最小的合数。

质数又叫素数.质数的个数是无限的.合数:一个数的约数除了1和它本身,还有其它的约数,这个数就叫做合数.2不是合数,1既不是质数又不是合数.质因数即约数:一个合数的因数,而且这些因数都是质数倍数,

最小的合数是什么

最小的质数是2,最小的合数是0(若不考虑0的话,那么最小的合数就是4).质数和合数的区别就是因素个数的多少,质数除了1和它本身以为没有其它的因素而合数还有其它的因素。