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无理数的定义
无理数是指除有理数以外的实数，当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis，意思是“理解”，实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译，是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。定义：在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。无理数是在实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如π、√2等。扩展资料历史：传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明√2无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。后来希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。无理数集：无理数集是不可数集（因有理数集是可数集而实数集是不可数集）。无理数集是个不完备的拓扑空间，它是与所有正数数列的集拓扑同构的，当中的同构映射是无理数的连分数开展。因而贝尔纲定理可以应用在无数间的拓扑空间上。
为什么会存在无理数
有理数在英语中是rational number，rational通常的意义是“理性的”。近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，把它译成了“有理数”。其实这个词来源于古希腊，词根ratio是比例的意思。所以说更让我们理解的翻译方法叫做比例数（有理数），非比例数（无理数）。
数的扩展
自然数
人类最早认识的数是0、1、2、3、4、5……这就是我们所熟悉的自然数。
整数
自然数对于加法和乘法是封闭的，减法就不一定了，比如说，1-2等于多少。 通过减法将数扩展到整数。在整数范围内，对于加法、减法、乘法是封闭的。
比例数（有理数）
通过对整数进行除法，数扩展到了比例数（有理数，将整数及0可以视为一种特殊的分数）
非比例数（无理数）
有理数具有稠密性，但有理数却不是完备的，也就是说有理数有空隙，无理数则填补了这个空隙。
实数
所谓的实数就是有理数及无理数，之前讲过戴德金分割。如果对实数进行分割的话，只会出现前两种情形，意思就是实数具有完备性。
实数的连续性与完备性是等价的，学过数学分析的人都知道：实数的连续性定理（确界存在定理），推出单调有界数列收敛定理，再推出闭区间套定理，再推出Bolzano-Weierstrass定理，再推出Cauchy收敛原理。 Cauchy收敛原理表明，由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质被称为实数的完备性。 还可以证明实数系的完备性，也包含了实数系的连续性。也就是说，实数的完备性与连续性是等价的。
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯的个重大发现就是毕达哥拉斯定理，根号2引发了第一次数学危机。这次数学危机持续了很长时间，直到柯西、微尔斯特拉斯、戴德金等人的杰出工作才算是彻底解决。可以这么说吧，毕达哥拉斯定理只是无理数产生的一个契机，其根源在于人类的理性思考。
无理数有哪些
无理数有三种：
（1）π，也就是3.1415926…………这类的，只要和π有关系的基本上都是无理数了。
（2）开方开不尽的数。这里“开方开不尽的数”一般是指开方后得到的数，而不是字面解释的那个意思。例如根号2，三次根号2……
（3）还有一种就是这类的：例如：0.101001000100001……，它有规律，但是这个规律是不循环的，每次都多一个0，发现了没。它是无限不循环小数。这个也是无理数。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
数学中π是什么数
π是一个希腊字母！用来表示圆的周长与直径的比值！
π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。
π是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。
随手画一条直的线，它的长度最有可能是有理数还是无理数
这个问题本身就是一个很有争议的话题，但是如果站在数学的角度上考虑，这个问题却是有确切的答案的。随手画的直线长度是无理数的可能性更大些。
首先我们可以假设这里的随意画出的线段长度是随机性的，你可以画出长度为10的线段，也可以画出长度为π的，完全不收任何因素影响。那么这个问题就转变成在所有的实数中（因为线段的长度总是一个实数，不可能是虚数。）是有理数多还是无理数多？
有人会问，这个无理数和有理数之间还可以比数量多少？这个真的可以！
1874年，德国数学家康托尔发表论文证明了一个惊人的结论，他利用创立的对角线法则证明了，所有的整数和有理数是一一对应的，而实数不能与整数一一对应。何为一一对应？
比如，小明和小白手里都藏着很多张牌，他们却并不会数数，那有什么方式来验证他们手中谁的牌更多呢？由于他们的数学水平实在太差，他们想了好久终于想到了一个很好的方法。那就是每次每人抽一张，放在一起，然后再抽一张，直到谁手中没有牌了，那么手中还有牌的人牌就是最多的。这是当然是显而易见的笨办法。
上面每次都会从小明小白手中各取一张，我们就可以理解成一一对应。假如他们两个手中的牌刚刚可以完全对应结束，那么他们手中的牌数量就是一样多的。这是一个显而易见的结论，通常情况下，在有限张牌的情况下，这是一个很容易接受的概念。但是如果小明小白手中的牌是无限个，恐怕就不一定有人敢下这样的结论了。
康托尔证明了，有理数可以与所有整数一一对应，同时，偶数也可以和所有整数相对应，奇数也可以和所有整数相对应。等等，偶数能和整数相对应，那不就是说偶数的个数和有理数是一样多的？是的，很反常，但是这是经过理论严格证明的。
同时康托尔也证明了另外一个重要结论：有理数都是可数的，而实数不可数。所以，实数无法与有理数一一对应，因为实数的数量要远远多于有理数。也就是说，你在随意画一条线，如果真的有某种方法可以精确测量这条线的长度，那么这里的长度几乎全部是无理数。
顺便说一句，康托尔当年提出的集合论遭到了很大争议，康托尔本人甚至一度因为遭受的非议太多，而精神都出现过问题。好在数学界最后拨乱反正，集合论成为了现代数学的基础理论。
希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。
无理数是什么数
无理数相对于有理数(即我们从幼儿园到小学接触到的十进制整数、小数、分数)而言，它没有“道理”，即不符合有理数的属性，不能写成两个整数之比，其数学本质只能为无限不循环小数。它是在有理数运算法则高度发展后，使数学大厦发生质变时必然产生的。常见的无理数有开方开不尽的数(如√2、√3)、超越数π和e等。然而，要想彻底弄清楚无理数的内涵和外延，必须从数学的本质及主要发展过程说起。
圆周率π
数学不仅研究现实的物质世界的空间形式和数量关系，还应研究精神世界的空间形式和数量关系，如关于人或动物的情绪、情感、意识等精神现象的数学模型。举两个简单的例子，如：我感到无限快乐！描述“无限快乐程度”的数学工具只能是无限小数，如果其快乐程度还会持续加深，反映该变化过程时，只能用高等数学里的无穷大(无穷大量)。又如，这个人几乎没有缺点！描述这类接近完美的人的性格的数字特征的工具只能是大于0小于“一个比1小得多的数”的一个无限小数，如果其性格仍在持续改善，该变化过程只能用高等数学里的无穷小(无穷小量)去描述。所以，数学科学只能是关于物质和精神世界的相对精确的数形哲学(如:在自然数范围内，1加1只能等于2，该运算法则即为一种数字运算哲学；又如，在欧氏几何里，三角形的内角和只能等于180度，该定理即为一种关于几何图形形状的度量哲学)！这也能解释为什么世界著名火箭专家、我国航天之父钱学森提出了“把数学从自然科学的桎梏中解放出来，改称数学科学，使之与传统的自然科学和社会科学并驾齐驱”的一大构想。
值得庆幸的是，早在数学发展到无限循环小数(循环节不为0)时，数学家们就已经不知不觉地开始涉足精神世界了，只是没有意识到精神现象在数学领域的重要性而没有建立相应理论而已！因为:就算拿最简单的无限循环小数0.333333……(3循环)，即1/3来说，它的数形哲学(或数学科学)意义是表示将一个被选取对象分成三个均匀而相等的子对象，取其中一个子对象，即小学数学上常说的“把单位‘1’平均分成3份，表示这样的1份的数”。然而，在现实世界里，根本不存在这样的一个子对象！打个很简单的比方，这好比我准备把1元钱平均分给3个小孩，显然，根本就办不到！在现实中，往往是其中的两人都得到3角3分，而另一个只能得到3角4分！可见，无限循环小数只能在我们的头脑中生成，在现实中根本不存在！但哲学家黑格尔说了一句流传至今的名言:“凡是合乎理性的东西都是现实的，凡是现实的东西都是合乎理性的。”因此，无限循环小数(本质上是一种分数)也有它存在的价值，它至少在近似地描述现实世界的数量关系时，会带来极大的方便，且精度可任意调整，直到较满意为止。比如，在该比方中，为了确保分配更均匀些，我可以让其中的俩小孩都得到3角3分3厘钱，与另一个小孩得到的3角3分4厘钱相比，相差就较小了。这个比方还能说明:在现实中，总存在绝对不公平的事！对于这类事情，只能是相对公平！即与预期相比，偏差不大。且它还有一大优点:书写和计算方便。比如:该例中的1/3 ，就比写成0.333333……或0.33、0.333等小数省事多了，且计算也方便了许多，也提高了运算效率。
在这之后，人们在关于自然数的开方运算中发现:有无数个无限不循环小数陆续出现，数学又发展到了无理数阶段。比如在研究圆周率π的过程中，人们通过计算，发现圆的周长与直径的比值是一个固定值，且是无限不循环小数，又如，对于最简单的开方开不尽的数√2，人们也是在求解诸如x^2=2的方程的过程中，发现了这个解也是一个无限不循环小数。然而，人们在研究无理数的过程中，通过把适用于有限数(整数，有限小数)的运算法则(加减乘除、乘方，开方等)硬套在一切实数的范围内，因而出现了后来的不断变化下去的无限循环和不循环小数！无形中混淆了朝着给定的任意大的正数或0无限趋近的变量与现实世界的物体的具体的、有限的各种常量的概念！即一个具体的常数怎么可能是变化过程或变化趋势呢？？？所有的数字只能是有限的数！所以，无理数只能在我们的头脑中生成，它和无限循环小数一样，在现实中根本不存在！这也能解释为什么古希腊数学家毕达哥拉斯坚决不承认无理数的存在！也能解释为什么德国著名物理学家普朗克较精确地算出了长度量子(最小的长度值)，即普朗克长度，约为1.6×10^-35米，这远远小于原子核的尺寸，他还认为测量比这个长度值更小的数值是没有任何意义的！(详见我在回答问题“物质是无限可分的吗？”时已给出了详细而通俗的证明过程，有兴趣的朋友可去看看)这说明我们的空间存在最小尺度，并不是无限变化下去的无限小数！还能解释为什么在现代科学研究中，使用的无理数π的近似值时，在最精确计算的时候仅需用到小数点后面的十几位！当然，如同前面所说的，这一系列用部分规律取代整体规律后生成的异类数(也可定义为精神数)，也有它存在的合理性，它们至少在近似地描述现实世界的数量关系时，会带来极大的方便，且精度可任意调整，直到较满意为止。所以在以这两个典型的例子中，在现实世界里，仅需取π或√2的近似值。至于应用到这些精神数的物质世界里的真实数值是多少，有待于测量技术的进一步发展。
同理，复数(形如Z=a+bi， a,b均为实数，ⅰ^2=-1的数)里的虚数单位ⅰ在现实世界中也不存在，且当其虚部b≠0时，它一定是精神数！但将ⅰ与复数平面里的虚轴对应后，则表示该轴上的一个单位长度，其中，每一个复数都和该平面里的一个点(a，b)对应，且对应一个起点为原点，终点坐标为(a，b)的向量，即可以表示成坐标平面里向量，所以它遵循向量的一些运算法则(如向量的加减法、数乘向量)，它在物理学(如电磁学)等自然科学和其它工程技术上也有着广泛的应用。
复数的向量表示
值得注意的是，根据狭义相对论的光速不变原理可知，光速在真空中对于不同的惯性系都是相同的，所以，对于我们司空见惯的时间，可以用处于某一真空惯性系的光的传播距离来重新定义！根据作匀速直线运动的物体的位移时间公式s=vt(s表示物体的位移矢量，v表示物体的速度矢量)可知，在该环境里的任意一束光的传播时间t=s/c(s在这里表示光的传播位移的大小，即传播距离，c表示光在该真空环境中的速度，即c=299792458米/秒)，这个简单的公式却蕴藏着极为深刻的哲理，即:我们习以为常的时间，其本质上就是这类环境下的任何光所传播的距离！因为当该光线每走完一段大小等于c的距离时，其对应的时间就是每1秒！因此，可以说，时间的本质就是在这类真空环境下的光(或构成光的每个光子)走过的路程！即时间的本质就是空间！当然，由于光速大小是一堆大数字，用c乘以某个常数来以表示具体的时间长短会给我们的生活、学习或科研计算造成诸多不便，因而，现有的时间定义仅仅是为了简化数目，图个方便，它仍有其存在的意义。因此，更严格地说，数学科学研究的广义空间里还应包括时间！
相对论的创立者爱因斯坦
总之，数学科学作为一门相当庞大的学科，数学家们的任务不比物理学、化学、生物学等自然科学家轻松，甚至更艰巨，除了要去解决一系列悬而未决的数学难题(歌德巴赫猜想、黎曼猜想、杨-米尔斯存在性和质量缺口等)外，还得向精神世界进军，建立一整套精神数学理论体系，从而，为全人类的幸福生活奠定最坚实的精神基础！
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如何理解无理数
欢迎关注：“黔中初数张文松”！
我是一名初中数学老师，无理数是初中数学中的一个概念。我来回答这个问题。
我将从以下几个方面回答这个问题：
1.无理数是怎样被发现的？
2.什么是无理数？
3.怎样证明无理数不同于有理数？
4.什么样的数是无理数？
一、无理数的产生
据说，古希腊的毕达哥拉斯学派的一个青年叫希帕苏斯（公元前4世纪左右），首先发现了正方形的对角线之比不能用整数之比表示。即根号2不是分数。毕达哥拉斯学派的基本观点是“万物皆数”。即万事万物都可以用正整数或正整数之比来表示。由于希帕苏斯的发现与学派的“真理”相抵触。因而，引起学派内部的恐慌。于是希帕苏斯被这个学派的其他成员抛入大海中淹死了。这就是数学史上的“第一次数学危机”。
很快，人们还认识了许多不能用分数表示的数。如根号3，三角函数表、对数表中的许多数。这类数叫人难以理解。但它又真实的存在着。于是就叫它为“无理数”。无理数是地地道道的数呢?还是某种神秘之物，数学卷为此争论了两千多年之久。
到16世纪，即第一个无理数根号2产生了两千年之后，大多数人才承认无理数也是数。19世纪，实数理论建立后，人们才从逻辑上把无理数说清楚，根号2之谜才得以解开。第一次数学危机过去了。
二、何为无理数
无限不循环小数叫无理数。而有理数是有限小数或无限循环小数。分数与有限小数或无限循环小数可以互化。可以说分数就是有理数。所以，无理数不是分数。
三、证明无理数不是有理数
四、什么是无理数
1.首先，无理数是一种真实存在的数。不能简单的理解为是无限个有理数的组成。因为无限个无理数不一定组合成无理数。
2.学了无理数后，常常需要我们去判断一个数是否是无理数。而判断一个数是否是无理数从定义去判断是很困难的。比如有同学误认为22/7是无理数。分析原因，是因为学生将其化为小数时，用22除以7，计算到小数点的第五位、第六位时，发现总除不尽，且又不循环。（而实际上它的循环节较长，有六位。要到第七位才开始循环）。所以，就妄下结论。
3.怎么判断一个数是不是无理数呢？
从以下三个方面判断，或者说无理数有以下三种表现形式：
(1)带根号且开方开不尽的数；
(2)结果含有特殊常数(比如π)的数；
(3)特殊结构的数，比如：3.2020020002....(相邻的两个2之间依次多一个0)。
以上回答当否，欢迎大家批评指正！
万有引力常数G，是有理数还是无理数为什么
谢邀。
在万有引力定律中，对于相隔一定距离的两个物体，它们之间的引力大小正比于它们质量的乘积，比例系数被称为万有引力常数（G）。根据目前最为精确的测量，万有引力常数为6.67408×10^-11 m^3/kg/s^2，相对标准不确定度为46 ppm（百万分之四十六）。鉴于万有引力常数是一个小数，那么，它究竟是有理数还是无理数呢？
事实上，万有引力常数并非真正意义上的常数，它可以是一个有理数，也可以是一个无理数。原因在于万有引力常数是有量纲的，它的大小会随着单位制的变化而改变，可以变成任意数值。
在国际单位制下，万有引力常数与米、千克和秒有关，而这些单位都是人为定义的。1米有多长与光速有关，而光速是物理学家根据此前的光速测量值而定义的。1千克有多重与普朗克常数有关，而普朗克常数也根据测量值被定义成一个确切数值。1秒的长度定义基于铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁时所辐射电磁波的周期。在这种情况下，无论如何测量万有引力常数，都无法知晓它究竟是有理数还是无理数。
另一方面，在普朗克单位制下，万有引力常数的量纲变为1。此时，万有引力常数是一个有理数。无量纲化的好处是让物理学公式变得简单，便于运算。
虽然我们一直把万有引力常数视作一个物理学常数，但有理论表明，万有引力常数会随着时间的推移而改变。根据狄拉克的大数假说，万有引力常数与宇宙的年龄成反比，这意味着随着宇宙的演化，万有引力常数会变得越来越小。不过，目前对遥远宇宙（也就是早期宇宙）的测量表明，万有引力常数似乎没有发生变化。
在物理学常数中，也只有无量纲的常数才是真正意义上的常数，谈论它们的有理性才是有意义的。例如，精细结构常数α：
通过日全食证实广义相对论的爱丁顿认为，精细结构常数是一个有理数，它等于137的倒数。但通过实验表明，精细结构常数等于比137大一点的数的倒数。
在数学中，数学家能够通过严格的逻辑来证明圆周率（π）、自然常数（e）都是无理数。但迄今为止，物理学家无法通过类似的方法来证明一个物理常数是不是无理数。物理学家知道它们数值的唯一方法是通过实验进行测量，而测量是有误差的。
总之，我们不知道万有引力常数以及其他物理常数到底是有理数还是无理数。任何具有非零误差边界的数都可以用有理数近似，而且我们可能永远无法从第一原理中推导出物理常数。
