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有谁知道比二次函数综合题思维难度还要大的中考压轴题
距离中考不到100天，许多同学也已经进入最后一轮复习。集中精力攻克一些重难点，是眼下拔高成绩的关键。但很多同学表示，中考数学中难度大、分值高的压轴题，是一块非常难啃的硬骨头，解答压轴题时，往往信心不足，往往每写出来第一小问，下面两问思路不畅，就举手投降了。久而久之，每次考试做到压轴题，还没读题就已经畏惧三分，感觉已经注定要平白无故丢掉十几分。我们知道，在中考这样的大型考试中，多一分就能超过数人，更别说十几分。尤其是对于目标考到130分以上的同学来说，这道关键题是必须要拿下的！
导语
纵观五年各省市中考压轴题，除了大多也以二次函数为背景框架的压轴题外，也出现很多以几何综合与探究型的形式出现，它以基本几何图形为背景，在动点或者图形变换中涉及三角形性质、判定、全等、相似或特殊的平行四边形等知识。主要涉及的类型有：运动产生的线段、面积、等腰三角形、直角三角形、特殊四边形问题。主要考查学生综合运用知识的能力，其思维难度高方法灵活。
综合与探究题作为考试的一个重要考察点，综合了几何的知识，再涉及动态变化，函数的极值问题。对学生的分析判断、推理论证、空间观念和探究能力都有较高的要求，考查了学生的数学综合应用能力，符合课标要求。
几何综合与探究题的题型
几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力。以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：
①.证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；②.证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆位置关系等）；③.几何计算问题；④.动态几何问题等。
（1）几何型综合题：
主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设与结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答。将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。
例1.（2019•淄博中考题）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）试证明DM⊥MG，并求MB/MG的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中MB/MG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．
【解析】（1）如图1中，延长DM交FG的延长线于H．证明△DMG是等腰直角三角形即可，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2√2a，BF＝√2a，求出BM，MG即可解决问题．
（2）（1）中MB/MG的值有变化．如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．首先证明O，G，F共线，再证明点M在直线AD上，设BC＝m，则AB＝2m，想办法求出BM，MG（用m表示），即可解决问题．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
例2．（2019•襄阳中考题）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：GF/AE的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BC/AB＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝2/3时，若tan∠CGP＝3/4，GF＝2√10，求CP的长．
【解析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ． ②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．
（2）结论：FG/AE＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．
（3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．PC＝9√5/5．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
（2）分类讨论问题：
分类讨论问题主要考查分类讨论的数学思想，常见的类型有：等腰三角形、直角三角形、相似三角形，平行四边形(矩形、菱形、正方形）。有些题目在分类讨论列方程求解后，还要检验，排除干扰。
例3.（2019•湘潭中考题）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5√3，CD＝5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．
（1）求∠CAD的大小；
（2）问题探究：动点M在运动的过程中，
①是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．
②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．
【解析】（1）在Rt△ADC中，求出∠DAC的正切值即可解决问题．∠DAC＝30°．
（2）①分两种情形：当NA＝NM时，当AN＝AM时，分别求解即可．
②∠MBN＝30°．∵∠BAN+∠BMN＝180°，∴A，B，M，N四点共圆，利用四点共圆解决问题即可．
综上所述，可求满足条件的CM的值为5或5√3．
（3）首先证明△ABM是等边三角形，再证明BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可解决问题．可求FH＝5√3/6．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
(3)最值型问题：
这类题则需要根据条件，利用几何形状，利用几何变换进行转换，或创设函数，利用函数性质（一般是一次函数、二次函数的增减性）求解。同时注意求最值时要注意自变量的取值范围。
例4.（2019•贵港中考题）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．
（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．
①写出旋转角α的度数；
②求证：EA′+EC＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝√2，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）
【解析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．旋转角为105°．
②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出PA+PF＝PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
解这类问题要注重在图形的形状或位置的变化过程中寻找函数与几何的联系，需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。
求解压轴几何问题的策略
(1)课本知识系统化
立足基础知识，要充分体现教材的基础作用，深入挖掘教材的考评价值。这类压轴题所考察知识点源于课本，都能在初中数学课本找到原型，复习要注重对这些原型的加工、组合、类比、改造、延伸和拓展，使分散在各章节的知识点一一过关，形成知识系统，为解这类压轴题奠定知识基础。
(2)解题思路经验化
探索解题思路的规律，形成解题经验。在综合复习过程中，要揭示获取知识的思维学生在学习过程中展开思维，形成能力。解综合与探究题要求学生全面、熟练地掌握学过的数学知识、联系条件，发展条件，依经验迅速确定解题的方向和方法。
解决几何综合题，需要厚积而薄发。所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的。熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中，注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
①.与相似及圆有关的基本图形。
②.正方形中的基本图形。
③.基本辅助线。
a.角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折。
b.与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线。
c.共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆。
d.垂直平分线，角平分线——翻折。
e.转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折。
(3)思想方法渗透化
几何综合与探究题渗透了数学的重要的思想方法，不能以解决问题作为教学的终结点，应将数学思想方法渗透在整个教学过程中。它应以例题、习题为载体，在学好基础知识的同时掌握数学的思想方法，并通过不断的积累、运用，内化为自己的知识经验，以此应对千变万化的各种类型的压轴题。
①.注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形。
②.掌握常规的证题方法和思路。
③.运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题。还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）。
(4)解题训练常规化
几何综合与探究题的解题能力的提升是一个渐进的过程，绝不是在两三周就可以做到的。应把解题能力的提升贯穿于整个数学备考过程，让学生对二次函数压轴题经历从害怕——尝试——熟悉——自信的过程。
(5)解题格式规范化
有部分学生因解题过程不规范，证明时语言不准确而失分，十分可惜。在复习过程中，要建立数常见题型的书写模型，明确哪些过程可以简化，哪些关键的步骤是不可少的，多加练习形成固定模式。
(6)要学会抢得分点
综合与探究题一般在大题下都有两至三个小题，难度是逐渐递增，因此，我们在解答时要把第1小题的分数一定拿到，第2小题的分数要力争拿到，第3小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。
一点感悟及建议
在最后一段时间内，要选做一些能代表命题方向的题目，要引导学生对解题过程、结果进行反思，以下几个方面需重点关注：
（1）试题结构；
（2）解题过程运用了哪些基础知识与基本技能，哪步易错，如何防止；
（3）对解题的方法重新评估，以期找到最优解法；
（4）对题目的重要步骤进行分析，抓住关键，考虑难点之处如何突破，能否用别的方法导出结果，哪一种方法是最高效的；
（5）对问题的条件和结论进行变换，使问题系统化。
数形结合记心头，大题小作来转化，
潜在条件不能忘，化动为静多画图，
分类讨论要严密，方程函数是工具，
计算推理要严谨，创新品质得提高。
如何快速做二次函数的题
二次函数问题是初中函数代数部分最重要的章节，也是难度最高的章节。
二次函数问题在中考中以解答题的形式为主。我们以常见的一题三问来理解。
解答题的第一问往往是求函数解析式和一些点坐标，所以做好二次函数解答题的第一步就先熟练掌握函数解析的求法，常见的一般式、顶点式、交点式，以及函数与x轴、y轴的交点坐标求法。
解答题的第二问往往涉及到一些简单的函数基本功，如两点之间的距离公式，线段长的表示方法，铅锤高求线段最大值和面积最大值，等腰三角形和直角三角形存在问题，平行四边形存在问题等。这些问题的方法难度不高，大部分用代数法就能解决，方法比较死板，变化不大，掌握方法后每个类型的练上三四道就可以。
解答题的第三问往往难度比较高，考察的类型比较多，灵活性比较大，很多时候会与常见的几何图形结合在一起。常见的如相似三角形，相等角或两倍角，面积问题，分段函数表示动态面积，动点问题，最值问题，与圆的结合，阿氏圆和类阿氏圆问题等，变化很多。这部分问题很难说有通用的方法，需要有扎实的函数基本功，灵活性强，还要能熟悉很多常考的方法。 我建议你可以根据自己的情况来决定是否要掌握第三问的难度。一般来说如果二次函数有三问的话，第三问的难度会是整张试卷中最难的部分。如果你正常一张试卷的得分率超过90％，那么你可以继续攻克这个部分题目。如果你的得分率低于90%，我建议你把前面难度的分数练熟。
顺便给你附上几道2019年的中考二次函数真题，希望对你有帮助。
八年级一次函数测试题及答案
一次函数测试题
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、若函数 是正比例函数，则常数m的值是 。
2、已知一次函数y＝k x－2，请你补充一个条件 ，使y随x的增大而减小。
3、从A地向B地打长途电话，按时收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若通话t分钟（t≥3），则需付电话费y（元）与t（分钟）之间的函数关系式是 。
4、某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某市居民每月交水费y（元）与水量x（吨）的函数关系如图所示，请你通过观察函数图象，回答自来水公司收费标准：若用水不超过5吨，水费为 元／吨；若用水超过5吨，超过部分的水费为 元／吨。
5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能从6人，如图所示，请你结合这个规律，填写下表：
拼成一行的桌子数 1 2 3 4 …… n
人 数 4 6 8 ……
二、选择题（每小题4分，共20分）：
6、下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）。
7、若点A（2, 4）在函数y＝k x－2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A、（0，－2） B、（1.5，0） C、（8, 20） D、（0.5，0.5）。
8、函数y＝k（x－k） （k＜0 的图象不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
9、如果直线y＝2x＋m与两坐标轴围成的三角形面积等于m，则m的值是（ ）
A、±3 B、3 C、±4 D、4
10、如图：OB、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米／秒；③甲让乙先跑了12米；④8秒秒后，甲超过了乙，其中正确的说法是（ ）
A、①② B、②③④
C、②③ D、①③④
三、解答题（此大题共50分，第11题6分，第12题8分，第13题10分，第14、15、16题各12分）
11、已知一次函数图象经过（3, 5）和（－4，－9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在函数图象上，求a的值。
12、画出函数y＝2x＋6的图象，利用图象：①求方程2x＋6＝0的解；②求不等式2x＋6＞0的解；③若－1≤y≤3，求x的取值范围。
13、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象，小明9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：①小强到离家最远的地方需几小时？此时离家多远？②何时开始第一次休息？休息时间多长？③小强何时距家21㎞？（写出计算过程）
14、网络时代的到来，很多家庭都接入了网络，电信局规定了拨号入网两种收费方式，用户可以任选其一：A：计时制：0.05元／分；B：全月制：54元／月（限一部个人住宅电话入网）。此外B种上网方式要加收通信费0.02元／分。
①某用户某月上网的时间为x小时，两种收费方式的费用分别为y1（元）、y2（元），写出y1、y2与x之间的函数关系式。②在上网时间相同的条件下，请你帮该用户选择哪种方式上网更省钱？
15、某服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这种布料生产M、N两种型号的时装80套。已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元。做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元。若设生产N型号的时装套数为x，用这种布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元。①求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；②该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
16、直线y＝k x＋6与x轴y轴分别交于点E，F。点E的坐标为（－8, 0），点A的坐标为（－6, 0）。①求k的值；②若点P（x, y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；③探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为27／8，并说明理由。
第十一章 一次函数测试题
一、相信你一定能填对！（每小题3分，共30分） 汤心军 070929
1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y= •
2．下面哪个点在函数y= x+1的图象上（ ）
A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，0） D．（-2，0）
3．下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y=2x-1 B．y= C．y=2x2 D．y=-2x+1
4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．二、三、四
C．一、二、四 D．一、三、四
5．若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（ ）
A．m》 B．m= C．m《 D．m=-
6．若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k》3 B．0《k≤3 C．0≤k《3 D．0《k《3
7．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）
A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-1
8．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（ ）
9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）
10．一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），那么这个一次函数的解析式为（ ）
A．y=-2x+3 B．y=-3x+2 C．y=3x-2 D．y= x-3
二、你能填得又快又对吗？（每小题3分，共30分）
11．已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，该函数的解析式为_________．
12．若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________．
13．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，3）和B（-1，-1），则此函数的解析式为_________．
14．若解方程x+2=3x-2得x=2，则当x_________时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．
15．已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．
16．若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k____0，b______0．（填“》”、“《”或“＝”）
17．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组 的解是________．
18．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a，1）和点（-2，b），则a=________，b=______．
19．如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____．
20．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式为__________，△AOC的面积为_________．
三、认真解答，一定要细心哟！（共60分）
21．（14分）根据下列条件，确定函数关系式：
（1）y与x成正比，且当x=9时，y=16；
（2）y=kx+b的图象经过点（3，2）和点（-2,1）．
